Demostrar que si $x^6+(x^2+y)^3$ es un cuadrado perfecto, entonces $y$ es un múltiplo de $x^2$

Question

Que $x$ $y$ ser enteros con $x \neq 0$. Demostrar que si $x^6+(x^2+y)^3$ es un cuadrado perfecto, entonces $y \equiv 0 \pmod{x^2}$.

¿Podemos expandir la expresión dada como $$x^6+(x^2+y)^3 = 2x^6+3x^4y+3x^2y^2+y^3 = (2x^2+y)(x^4+x^2y+y^2)=k^2,$$ for some integer $k $. Now assume $x \neq 0 $. We proceed by contradiction. Let $y = mx ^ 2 + d $, where $0 < d \leq x ^ 2-1 $ for some $m $. Then the original equation is equivalent to $$((2+m)x^2+d)(x^4+mx^4+dx^2+(m^2x^4+2dmx^2+d^2))$$ and to $% $ $((2+m)x^2+d)((1+m+m^2)x^4+(d+2dm)x^2+d^2).$esto parecía una forma computacional de resolver esto, pero podemos aún resolver este?

Answer 1

Hasta donde yo sé, esta es la forma en que uno lo pueda probar.

Deje $a,b$ ser números enteros que satisfacen la condición.

Por lo $$a^6+(a^2+b)^3=t^2$$ Luego, dividiendo por $a^6$, $$1+\left(1+\frac{b}{a^2} \right)^3=\left(\frac{t}{a^3} \right)^2$$ Sin embargo, la curva elíptica $1+x^3=y^2$ es una curva elíptica con rango de $0$, , por lo que sólo tiene un número finito de puntos racionales, todos los cuales son "torsión", o de orden finito. Como tiene puntos racionales de orden finito se desprende de la Nagell-Lutz teorema, que todos los puntos racionales se entero de puntos.

Como $\left(1+\frac{b}{a^2}, \frac{t}{a^3} \right)$ es un punto racional en $1+x^3=y^2$, se deduce que el $1+\frac{b}{a^2}$ es un número entero, o $$b \equiv 0 \pmod{a^2}$$ Como se desee. Hemos terminado. (Ver también aquí).