Deducir la forma cerrada para los números pentagonales

Question

Considere la secuencia:

$0,1,5,12,22,35,51,70,92,117,145,176,\ldots$

Con una recurrencia y una forma cerrada para esta secuencia.

Yo he hecho algunas investigaciones y encontró que la mayoría de ellos (excepto el 0) son "números pentagonales." No hemos aprendido acerca de estos, pero más investigación me permitió encontrar una fórmula:

$A_n = ((3n^2)-n)/2$

Que es la forma cerrada para esta secuencia, ¿correcto? Podría alguien posiblemente me llevan en cuanto a cómo llegar a esa ecuación?

En términos de recurrencia, estoy un poco perdido.

Answer 1

Que $Sa_n=a_{n+1}$, entonces podemos calcular en la tabla que $(S-1)^3a_n=0$. La solución para esta Relación de recurrencia lineal es de la forma $$ a_n = bn ^ 2 + cn + d\tag {1} $$ utilizando los valores conocidos para $n=0,1,2$, obtenemos $$\begin{align} 0&=d\\ 1&=b+c+d\\ 5&=4b+2c+d \end {Alinee el} problemas \tag {2} $$ $(2)$ y sustituir en $(1)$ da $$\begin{align} a_n &=\frac32n^2-\frac12n\\ &=\frac{(3n-1)n}2\tag{3} \end {Alinee el} $$

Answer 2

Cuando se tiene un polinomio expresado como una secuencia, se puede encontrar diferencias $$ \begin {array} {l l l l l l} 0&1&5&12&22&35\\1&4&7&10&13\\3&3&3&3 \end {array}$$ donde la primera línea de la secuencia y entradas posteriores son la diferencia entre el uno hacia arriba y a la derecha y la de arriba. El hecho de que el segundo diferencias son constantes dice que usted tiene una segunda potencia polinomio. Para obtener el líder término, se toma la constante en la segunda línea y se divide por $2!$, por lo que su polinomio comienza con $\frac 32n^2$. Resta y se obtiene un polinomio lineal, que será constante en la primera línea hacia abajo.

Usted puede usar esto para obtener una recurrencia. La primera línea es $A_n-A_{n-1}$ y se puede observar es $1+3(n-1)$, lo $A_n=A_{n-1}+3n-2$