Cálculo de un área entre los círculos con doble Integral

Question

Hey necesito responder la siguiente pregunta:

encontrar el área de

• $D=[(x,y):(x-1)^2+y^2\leq 1, x^2+y^2\geq 1,0\leq y\leq x] $

Sé cómo resolver este tipo de problemas con integrales normales pero ¿cómo administro a calcular con integrales dobles? He intentado utilizar la técnica de polar pero no seguro im hacerlo derecho gracias!

Answer 1

Tenes el % correcto límites $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$y $1 \le r \le 2\cos \theta$, como usted dijo en su comentario.

Ahora, todo lo que necesitas hacer es calcular la integral $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\int_{1}^{2\cos\theta}r\,dr\,d\theta$.

La integral interior es sencilla. Una vez que haces eso, la integral exterior puede hacerse fácilmente después de usar la identidad $2\cos^2\theta - 1 = \cos 2\theta$.

Answer 2

Hacerlo usando polars. Sólo integran de $-\pi/3$ $\pi/4$ el integrando $(1/2)[4cos^2(\theta)-1]d\theta$. La razón es que la zona es mentira entre el % de círculo $r=1, r=2cos(\theta)$y por debajo de la línea $\theta=\pi/4$. El punto de intersección es $(1/2,-\sqrt3/2)$. Use la fórmula del ángulo doble.