De fondo
A menudo uno se encuentra con el problema de tratar de encontrar el número de formas de dividir un entero positivo en una suma de números enteros no negativos. Hay tres formas de dividir el número 3, por ejemplo: \begin{align} 3 &= 3+0,\\ 3 &= 1+2,\\ 3 &= 1+1+1.\\ \end{align} Los dos primeros son una partición de $3$ a $2$ números enteros no negativos. La última es una división en $3$ números enteros no negativos.
La declaración del problema
Por otro lado, se podría considerar que el número de formas de dividir un número con más de un conjunto diferente. Estoy interesado en el caso de que los números de "hacer la partición" se dibujan a partir del conjunto $$ S_N = [-N,\ldots,N] $$ (con repeticiones permitidas) y los números de particiones se $0$$1$. En el caso general, $m$ se permiten los números para ser elegido de $S_N$ al hacer la partición.
Ejemplo
Supongamos $N = 1$, por lo que el $S_1 = \{-1,0,1\}$. Supongamos primero buscamos particiones en dos enteros -- en otras palabras, tome $m =2$. A continuación, $0$ se puede dividir en dos enteros de $S_1$ en la de dos maneras distintas, como se muestra a continuación: \begin{align} 0 &= 0 + 0 \\ 0 &= 1 + (-1), \end{align} $1$ puede ser dividida en una sola forma: \begin{align} 1 &= 1 + 0. \\ \end{align} Para $m=3$, $0$ puede ser dividido en dos maneras distintas de nuevo, \begin{align} 0 &= 0 + 0 + 0\\ 0 &= 1 + (-1) + 0, \end{align} mientras que $1$ ahora también puede ser particionado en dos formas distintas, \begin{align} 1 &= 1 + 0 + 0\\ 0 &= 1 + 1 + (-1). \end{align}
Existe una solución para el caso general?
Me pregunto si este problema puede ser resuelto en el caso general (para todos los $N$$m$) en forma cerrada. Referencias bibliográficas son bienvenidos. Gracias!
Edit: para responder a los comentarios, en el caso de $0$ ($1$), lo que estoy buscando es, de hecho, el coeficiente de $x^m y^0$ ($x^m y^1$) en la parte formal de la serie definida por $$ g(x,y) = \frac{1}{\prod_{k=-N}^{k=+N}(1-x y^k)}. $$
