Definición (Pointwise convergencia de series): se dice que una secuencia $E_n$ de los conjuntos en $\mathbb{R}^d$ converge pointwise a otro conjunto $E$ $\mathbb{R}^d$ si el indicador de funciones $1_{E_n}$ convergen pointwise a la función del indicador de $1_E$.
El problema es demostrar que si $E_n$ son todos Lebesgue medibles, y convergen pointwise a$E$, $E$ también es Lebesgue medible.
Además, debo mostrar que $m(E_n)$ converge a $m(E)$ [donde $m(\cdot)$ denota la medida de Lebesgue], si $E_n$ están contenidos en otro Lebesgue medibles set $F$ finito de medida. También, he producir un contraejemplo para mostrar que la convergencia no puede sostener sin la asunción.
Para la primera parte, traté de escribir $E$ como algunos contables de la unión/intersección de la $E_n$'s. Pero no puedo explotar la definición de pointwise convergencia de series lo suficientemente bien como para defender mi punto. Para la segunda parte, probablemente, I necesidad de incorporar la monotonía teorema de convergencia, pero no tengo un claro ataque al problema. Cualquier ayuda sería muy apreciada!
