$p$ -Cumplimiento de los requisitos de $\mathbb{Z}[X]$ y $\mathbb{Z}[[X]]$ .

Question

Dejemos que $p$ sea primo. El $p$ -Cumplimiento de los requisitos de $\mathbb{Z}$ es el anillo $\mathbb{Z}_p$ de $p$ -y sus elementos pueden ser considerados como series de potencias en $p$ . ¿Existe una buena descripción de los elementos del $p$ -cumplimiento de los requisitos de $\mathbb{Z}[X]$ y $\mathbb{Z}[[X]]$ ?

Edición: La finalización de $\mathbb{Z}[X]$ contiene $\mathbb{Z}_p[X]$ por supuesto. Creo que también debería contener la serie $\sum_{i=0}^\infty p^iX^i$ por lo que la terminación es estrictamente mayor que $\mathbb{Z}_p[X]$ .

Answer 1

El $p$ -Cumplimiento de los requisitos de $\mathbf Z[[X]]$ es $\mathbf Z_p[[X]]$ . Para demostrarlo, basta con probar que el mapa $\mathbf Z[[X]] \to\mathbf Z_p[[X]]$ induce un isomorfismo en el $p$ -adictos completados. Esto es obvio porque $$\mathbf Z[[X]]/p^n\mathbf Z[[X]] \to\mathbf Z_p[[X]]/p^n\mathbf Z_p[[X]]$$ es un isomorfismo, ambos lados se identifican con $(\mathbf Z/p^n\mathbf Z)[[X]]$ de forma natural.

Sin embargo, el $p$ -Cumplimiento de los requisitos de $\mathbf Z[X]$ es el anillo $\mathbf Z_p\left<X\right>$ el subring de $\mathbf Z_p[[X]]$ que consiste en la serie formal de potencias $\sum_{n\geq 0} a_n T^n$ tal que $|a_n| \to 0$ en $\mathbf Z_p$ . Es un bonito ejercicio de límites para demostrarlo.

Estos anillos se conocen como Álgebras de Tate y su estudio constituye el punto de partida de geometría analítica rígida (que es a la geometría algebraica sobre $p$ -lo que la geometría analítica compleja es para la geometría algebraica sobre $\mathbf C$ ).

Answer 2

La finalización de $\mathbb{Z}[X]$ es isomorfo al anillo de series de potencias formales con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$ que tienden a $0$ $p$ -adicalmente. De hecho, es, por definición, el anillo de clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy $(f_k)$ de polinomios $f_k\in \mathbb{Z}[X]$ . Ser una sucesión de Cauchy significa que, eventualmente, los polinomios se vuelven congruentes módulo de potencias cada vez más altas de $p$ es decir, todos los coeficientes de estos polinomios deben ser finalmente congruentes módulo de potencias altas de $p$ . Supongamos que para algunos $k_0$ , $f_m$ es congruente con $f_{k_0}$ modulo $p^{100}$ para todos $m\geq k_0$ . Si $d_0$ es el grado de $f_{k_0}$ entonces esto implica que en todos estos $f_m$ los coeficientes de $x^d$ para todos $d>d_0$ son divisibles por $p^{100}$ . Aplicando esto para valores cada vez más altos de $100$ se ve que los coeficientes de la serie de potencias resultante tienden a $0$ $p$ -adicalmente.

Este tipo de anillos son muy importantes en geometría analítica rígida .

La finalización de $\mathbb{Z}[[X]]$ es sólo $\mathbb{Z}_p[[X]]$ . Eso es fácil de ver con sólo mirar su secuencia de Cauchy de series de potencias término a término.