Dos preguntas sobre campos finitos

Question

Estoy teniendo ciertos problemas con campos finitos. Si alguien podría señalar una dirección en la que se busca que estos, o un enlace a material pertinente en línea, lo agradecería muchísimo! Me piden factor de $x^4+x+1$ $F_{2^6}$ o $F_{64}$. No estoy seguro de cómo atacar este problema. Sé $x^4+x+1$ es irreductible a más de 2, y que $F_{64}$ es la división de campo de la grado 6 polinomio irreducible $x^6+x+1$. Entonces existe algún elemento $\alpha \in F_{64}-F_{2}$ tal que $\alpha^6+\alpha+1=0$. Pero, ¿cómo puedo aplicar esto a factor de $x^4+x+1$? Hay un método general para la factorización de más de un campo como este? Wolfram alpha respuesta es (ligeramente) offputting: $$x^4+x+1 = (\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha+x^2+x)(\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha+x^2+x+1)$$ donde $\alpha$ satisface $\alpha^6+\alpha+1=0$. Claramente, esto está relacionado con el $\alpha$ me he encontrado. Pero ¿cómo han llegado con los factores?

Mi segunda pregunta está relacionada con un complejo de extensión de un campo finito. Se nos pide mostrar que todos los polinomios $ax^2+bx+c \in F_7[x]$ tienen raíces en $F_7(i)$, la extensión de la $F_7$ por una raíz de $x^2+1$. Lo de la avenida hago este enfoque? Lo que en la teoría de Galois, me permite mostrar que cuadráticas divididos sobre esta extensión?

Cualquier consejo se agradece. Gracias.

Answer 1

Consejos/sugerencias/observaciones:

1. Irreductibilidad de $x^4+x+1$ sobre el primer campo significa que las raíces de este polinomio son en $\Bbb{F}_{16}$. Ahora (dentro de una clausura algebraica) $\Bbb{F}_{16}\cap\Bbb{F}_{64}=\Bbb{F}_4$. Esto significa que si el factor de $x^4+x+1$ sobre el campo de $\Bbb{F}_4$, entonces esos factores también residen en $\Bbb{F}_{64}[x]$. Sin duda (no ver) los polinomios en la $\alpha$ que se muestran son elementos de $\Bbb{F}_{4}$. La identificación de los elementos de $\Bbb{F}_{64}$ que pertenecen a las pequeñas campo $\Bbb{F}_{4}$ toma un poco de cálculo. Los elementos de los que los más pequeños de campo son de tercera raíces de la unidad, así que me gustaría probar y calcular el $\alpha^{21}$. ¿Sabes cómo factor de $x^4+x+1$$\Bbb{F}_{4}$?
2. La respuesta corta es que $\Bbb{F}_{7}[i]$ es el único campo (hasta el isomorfismo) que es una ecuación cuadrática de la extensión de $\Bbb{F}_{7}$. Un poco más de respuesta es que dado que este es impar característica, se puede aplicar el método de completar el cuadrado para encontrar los ceros de cualquier polinomio cuadrático. Si el discriminante es un cuadrado en $\Bbb{F}_{7}$, es decir,$D=b^2-4ac\in\{0,1,4,9=2\}$, entonces su polinomio tiene ceros en el primer campo. OTOH si $D\in\{3,5,6\}$, entonces usted necesita $\sqrt{D}$. Pero $\sqrt{6}=\sqrt{-1}$, e $3\equiv -25=(-1)\cdot 5^2\pmod7$, por lo que $$\sqrt{3}=\sqrt{(-1)\cdot 5^2}=5\sqrt{-1}\in\Bbb{F}_{7}[i].$$ Del mismo modo $$\sqrt{5}=\sqrt{-9}=3\sqrt{-1}\in \Bbb{F}_{7}[i].$$

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Desarrollarse el plan de ataque en la primera pregunta. El punto es que, debido a $\Bbb{F}_{16}$ es una ecuación cuadrática de la extensión de $\Bbb{F}_4$, el polinomio mínimo (sobre el primer campo) de cualquier elemento de $\Bbb{F}_{16}$, $x^4+x+1$ debe, a continuación, factor que en la mayoría de los factores cuadráticos.

A ese fin, tenemos un mejor vistazo a $\Bbb{F}_4$. Este campo es $\{0,1,\beta,\beta+1\}$ donde $\beta$ es una primitiva raíz cúbica de la unidad. Como $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ vemos que $\beta$ es un cero de $\phi_3(x)=x^2+x+1$, el otro cero de ser $\beta^2=\beta+1$. Así que en este punto sabemos que en $\Bbb{F}_4[x]$ hemos $$\phi_3(x)=x^2+x+1=(x-\beta)(x-\beta-1)=(x+\beta)(x+\beta+1).$$ Lo siguiente que hacer un poco de trampa. [Podríamos hacer esto en una forma más sencilla y directa, si tuviéramos un registro de la tabla de $\Bbb{F}_{16}$ a mano. Voy a añadir uno como otro de pregunta/respuesta, debido a que es útil para muchas preguntas, y el campo finito de etiquetas wiki puede, a continuación, se refieren a que.] La trampa es hacer la observación de que $$\phi_3(x^2+x)=(x^2+x)^2+(x^2+x)+1=(x^4+x^2)+(x^2+x)+1=x^4+x+1.$$ Así, el anterior de la factorización de $\phi_3(x)$ $\Bbb{F}_4[x]$ da lugar a una factorización $$x^4+x+1=\phi_3(x^2+x)=(x^2+x+\beta)(x^2+x+\beta+1).$$ Si así lo desean, puede verificar esta factorización mediante la expansión y uso de las relaciones $\beta(\beta+1)=\beta^2+\beta=1$.

Pero su pregunta fue acerca de factoring $x^4+x+1$$\Bbb{F}_{64}[x]$. Para ello sólo necesitamos encontrar la (única) copia de $\Bbb{F}_{4}$ dentro de su campo de $\Bbb{F}_{64}=\Bbb{F}_2[\alpha]$ donde $\alpha$ es un cero de $x^6+x+1$. CREO que le fue dado (o podemos comprobarlo mientras que se calcula) que $x^6+x+1$ es un polinomio primitivo, IOW el elemento $\alpha$ es un generador del grupo multiplicativo $\Bbb{F}_{64}^*$. Por lo $\alpha$ es de orden $63$. Por lo tanto $\alpha^{21}$ $\alpha^{42}$ son las raíces cúbicas de la unidad, y por lo tanto deben ser los elementos $\beta$$\beta^2=\beta+1$. En un cierto orden, es decir, que no tienen forma de saber cual es cual, y debido a un automorphism de $\Bbb{F}_4$ de los intercambiadores de ellos, no nos importa!!

Así, conseguir un poco de tierra en nuestras manos, podemos calcular $$\begin{aligned} \alpha^7&=\alpha\cdot\alpha^6=\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha,\\ \alpha^{21}&=(\alpha^7)^3=(\alpha^2+\alpha)^3=\alpha^6+\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2=\\ &=\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 \end{aligned}$$ utilizando el polinomio mínimo de la relación de $\alpha^6=\alpha+1$ en puntos seleccionados.

De todos modos estos feos entidades $\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1$ y $\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha$ son sólo la primitiva tercera raíces de la unidad en la $\Bbb{F}_{64}$. Esto explica que la factorización dada por WA es el mismo que el de arriba de la factorización de $x^4+x+1$$\Bbb{F}_4$. También, podemos concluir que el conjunto de $$K=\{0,1,\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1,\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha\}$$ es un subcampo de la $\Bbb{F}_{64}$ que es entonces también una copia de $\Bbb{F}_4$.

Un isomorfismo de los campos de $\Bbb{F}_4\to K\subset\Bbb{F}_{64}$ es mapa $\beta\mapsto \alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha$, $\beta+1\mapsto \alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1$ (o al revés).