Mi profesor dijo que si por un $n \times n$ matriz $A$, $\text{null}(A) = \mathbb{R}^n$, a continuación,$A = 0_{n}$. ¿Por qué es esto cierto? Entiendo lo que su decir - si todo lo que los tiempos de esta matriz es cero, entonces la matriz tiene que ser cero.
La intuición es bastante simple con números, pero podría alguien explicar por qué esto es cierto con las matrices? Gracias
Si $\operatorname{null}(A)=\Bbb R^n$, entonces para todos los $x\in \Bbb R^n$ sostiene que $Ax=0_{\Bbb R^n}$. En particular, para todos los $i\in \{1, \ldots, n\}$ es cierto que $Ae_i=0_{\Bbb R^n}$.
Por lo $Ae_1=0_{\Bbb R^n}\land Ae_2=0_{\Bbb R^n}\land \ldots \land Ae_n=0_{\Bbb R^n}$.
Considere la matriz cuya columna $i$ es $e_i$, $[e_1\mid \ldots \mid e_n]$.
El de arriba te dice que $0_{n\times n}=[Ae_1\mid \ldots \mid Ae_n]$, pero $[Ae_1\mid \ldots \mid Ae_n]=A[e_1\mid \ldots \mid e_n]$.
Ahora tenga en cuenta que $[e_1\mid \ldots \mid e_n]=I_n$ y la conclusión.
Si $A \neq 0$, a continuación, algunos de columna de $A$ no es la $0$ (columna) del vector. Dicen que el $i$ésima columna de a $A$ no es la $0$ vector. A continuación, $$A e_i = i\text{th column of } A$$
donde $e_i$ es la (columna) vector con $1$ $i$th posiciones y cero en caso contrario. ¿Por qué hace esto implica que los nulos$(A)$ no todos los de $\Bbb{R}^n$?
Una transformación lineal puede ser visualizado como tomar una cuadrícula sobre el espacio y la inclinación/la distorsionan. Las líneas de la cuadrícula todo tiene que permanecer líneas y líneas paralelas permanecen paralelas (es decir, se respeta la adición de vectores y multiplicación), pero eso es todo. Así que "tramo el eje-z 2" y "rotar alrededor del eje y en un 30$^\circ$" son válidas las transformaciones lineales, representado por un tipo particular de matrices.
En particular, aplastando $\mathbb{R}^n$ sobre el subespacio también es una transformación lineal (por ejemplo, "aplastar todo en el plano xz"). Si nos encontramos con un subespacio, entonces eso significa que algún otro subespacio (en este caso el eje de las y) se asignan a la de origen. Cuando esto ocurre, decimos que este subespacio es parte de la nullspace de la matriz. Por lo $\operatorname{null}(A)=\mathbb{R}^n$ está diciendo "esta matriz aplasta todo a la de origen". El cero de la matriz se multiplica todo por cero, por lo que aplasta todo a la de origen. Lo que tu profesor ha demostrado es que la única matriz que hace esto es el cero de la matriz: la "aplastar todo a cero" la propiedad es suficiente para precisar, porque nada más puede hacerlo.
En particular, cualquier matriz con un valor distinto de cero de la entrada en su $n^{th}$ columna puede ser multiplicado por la base de vectores $(0,0,0,...1...0)$ $1$ en la posición $n$, lo que producirá este vector de columna como de salida (que por hipótesis es distinto de cero). Por lo que cualquier valor distinto de cero de la matriz de hojas algo unsquished, y la conclusión de la siguiente manera.
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