La cardinalidad de a $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$

Question

Estoy trabajando en este ejercicio durante una sesión de iniciación Real curso de Análisis:

Mostrar que|$\mathbb{R}$| = |$\mathbb{R}^2$|.

Sé que $\mathbb{R}$ es incontable. También sé que los dos conjuntos de $A$ $B$ tienen la misma cardinalidad si hay un bijection de $A$ a $B$. Así que si me muestran que no existe un bijection de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^2$ entonces yo creía que muestra que|$\mathbb{R}$| = |$\mathbb{R}^2$|.

Deje $x_i \in \mathbb{R}$, donde cada una de las $x_i$ se expresa como un decimal infinita, escrito como $x_i = x_{i0}.x_{i1}x_{i2}x_{i3}...,$. Cada una de las $x_{i0}$ es un número entero, y $x_{ik} \in \left \{ 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right \}$. A continuación, vamos a

$$f(x_i)=(x_{i0}.x_{i1}x_{i3}x_{i5}... ,x_{i0}.x_{i2}x_{i4}x_{i6}...)$$

¿Qué debo hacer para demostrar que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ es una función inyectiva? Cualquier sugerencia o ayuda con la pregunta sería apreciada.

Answer 1

Editado para añadir: Como Andrés señaló en un comentario, yo tenía esta al revés: el uso de Schröder-Bernstein, queremos exponer las inyecciones (no surjections) en cada dirección. Creo que la tengo ahora.

El uso de decimales (o binario, ternario,...) expansiones como este es muy desordenado.

1. Su sugerencia no es, obviamente, una inyección, debido a que para cada $(x,y)$ en el rango, las partes integrales de $x$ $y$ son los mismos ($x_{i0}$ en su notación).
2. Hay cualquier número de bijections entre el $\mathbb R$ y el intervalo de $(0,1)$. Estoy seguro que usted puede pensar de unos pocos. Por lo que podemos reducir el problema a la búsqueda de un bijection entre el$(0,1)$$(0,1)\times(0,1)$. En este caso, su enfoque se ve prometedor. Pero, por desgracia, es estropeado por el hecho de que $0.abc09999...$ es igual a $0.abc10000...$. Usted puede hacer que la noción de expansión decimal inequívoco por siempre la elección de la no terminación de uno, pero cuando se intenta extraer dos expansiones decimales como lo han hecho, no hay ninguna garantía de que ambos serán no termina. Por ejemplo, $0.7170707070707070...$ $0.7079797979797979...$ tanto de desempaquetar a $(0.777777...,0.1)$.

Así que el enfoque habitual es mostrar la existencia de una inyección en cada dirección, lo que garantiza la existencia de un bijection por el Schröder–Bernstein teorema.

Allí el más evidente es el de la inyección de$(0,1)$$(0,1)\times(0,1)$$x \mapsto (x,0)$.

Para ir a otro lado, tome $(x,y) \in (0,1)\times(0,1)$. Podemos expresar $x$ $y$ como no-terminación decimal expansiones $0.x_1x_2x_3\ldots$ $0.y_1y_2y_3\ldots$ (sin terminación significa que el número de no-cero dígitos es infinito). Ahora tenemos este mapa con el número con decimales expansión $0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3...$. Este no es un bijection! Pero se trata de un inyectable, el cual es suficiente para probar que las cardinalidades de $\mathbb R$ $\mathbb R^2$ son iguales.