Funciones de cálculo integral seno: $\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }\frac{\sin\left((n+1/2)\,x\right)}{\sin\left(x/2\right)}\,dx = 1$

Question

Para un entero, $n$, ¿Cómo demuestro a continuación?

$$ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^ {\pi} \frac{\sin\left((n+1/2)\,x\right)}{\sin\left(x/2\right)} \,dx = 1. $$

¿Puedo utilizar la inducción?

Answer 1

Para utilizar la inducción, en primer lugar establecer un caso base. Si $n=0$, entonces ve trivial

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left((n+1/2)x\right)}{\sin(x/2)}\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left(x/2\right)}{\sin(x/2)}\,dx=1$$

A continuación, asumimos que para algún entero $N\ge 1$ tenemos

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left((N+1/2)x\right)}{\sin(x/2)}\,dx=1$$

Ahora examinamos el integral para $n=N+1$. Proceder, tenemos

$$\begin{align} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left((N+1+1/2)x\right)}{\sin(x/2)}\,dx&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left((N+1/2)x\right)+2\cos((N+1)x)\sin(x/2)}{\sin(x/2)}\,dx\\\\ &=\color{blue}{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left((N+1/2)x\right)}{\sin(x/2)}\,dx}+\color{red}{\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi \cos((N+1)x)\,dx}\\\\ &=\color{blue}{1}+\color{red}{0}\\\\ &=1 \end {Alinee el} $$

¡como era de mostrarse!

Answer 2

Observar que

$$\frac{\sin\left(n+\frac12\right)x}{\sin\frac x2}=2\sum_{k=0}^n\cos kx+1\implies$$

$$\int_{-\pi}^\pi\frac{\sin\left(n+\frac12\right)x}{\sin\frac x2}dx=2\sum_{k=0}^n\int_{-\pi}^\pi\cos kx\,dx+2\pi=2\pi$$

y hemos terminado.

Answer 3

Se están integrando el núcleo de Dirichlet %#% $ de #% donde la igualdad pasada sigue de telescópico creativo, desde $$ D_n(x) = \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx} = 1+2\sum_{k=1}^{n}\cos(kx) = \frac{\sin\left((n+1/2)x\right)}{\sin(x/2)} \tag{1}$ $ como un subproducto de $$ 2\cos(kx)\sin(x/2) = \sin\left((k+1/2)x\right)-\sin\left((k-1/2)x\right).\tag{2}$, $(1)$ $