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Anillos no conmutativos con grupo abeliano de unidades

Todo anillo conmutativo tiene un grupo abeliano de unidades. Por lo tanto, quiero saber si la inversa se mantiene o cuando se mantiene.

Mi pregunta es: ¿es conmutativo todo anillo con su grupo abeliano de unidades?, y ¿puede dar un ejemplo de un anillo no conmutativo con un grupo abeliano de unidades (si existe tal anillo)?

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user464336 Puntos 1

Dejemos que $k$ sea un campo y $k[X,Y]$ sea el anillo de polinomios no conmutativos sobre $k$ . Los elementos invertibles son exactamente los elementos de $k$ .

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user350031 Puntos 6

Mi reflexión sobre esta cuestión fue la siguiente:

1) Cuando pienso en la no conmutatividad, una de las primeras cosas que me vienen a la cabeza son las matrices.

2) Quiero un anillo de matrices cuyo grupo unitario sea bonito (pensando: finito de orden pequeño).

3) ¿Qué pasa con el anillo no conmutativo $R\,$ de $2\times 2$ matrices con entradas en $\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$

4) Por definición $R^\times = GL_2(\mathbb{F}_2)$ y un simple argumento de conteo muestra que $\#GL_2(\mathbb{F}_2) = 6.$

5) Hay 2 grupos de orden 6 hasta el isomorfismo: $C_6$ (abeliana) y $S_3$ (no abeliana).

6) Un poco de lío me mostró que $GL_2(\mathbb{F}_2)$ no es abeliano :(

7) Si $R^\times$ fuera menor, entonces tendría que ser abeliano porque todos los grupos de orden $<6$ son abelianas.

8) Intentemos encontrar un subring no conmutativo de $R.$

9) ¿Qué pasa con el subring $S$ de todas las matrices triangulares superiores.

10) El grupo unitario está formado por todas las matrices triangulares superiores que tienen entradas diagonales distintas de cero.

11) Hay exactamente dos matrices de este tipo, por lo que $\#S^\times = 2$ ¡y ya está! :)

Espero que esto ayude :)

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