Mi reflexión sobre esta cuestión fue la siguiente:
1) Cuando pienso en la no conmutatividad, una de las primeras cosas que me vienen a la cabeza son las matrices.
2) Quiero un anillo de matrices cuyo grupo unitario sea bonito (pensando: finito de orden pequeño).
3) ¿Qué pasa con el anillo no conmutativo $R\,$ de $2\times 2$ matrices con entradas en $\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$
4) Por definición $R^\times = GL_2(\mathbb{F}_2)$ y un simple argumento de conteo muestra que $\#GL_2(\mathbb{F}_2) = 6.$
5) Hay 2 grupos de orden 6 hasta el isomorfismo: $C_6$ (abeliana) y $S_3$ (no abeliana).
6) Un poco de lío me mostró que $GL_2(\mathbb{F}_2)$ no es abeliano :(
7) Si $R^\times$ fuera menor, entonces tendría que ser abeliano porque todos los grupos de orden $<6$ son abelianas.
8) Intentemos encontrar un subring no conmutativo de $R.$
9) ¿Qué pasa con el subring $S$ de todas las matrices triangulares superiores.
10) El grupo unitario está formado por todas las matrices triangulares superiores que tienen entradas diagonales distintas de cero.
11) Hay exactamente dos matrices de este tipo, por lo que $\#S^\times = 2$ ¡y ya está! :)
Espero que esto ayude :)