Orden de un producto en un grupo abeliano.

Question

Supongamos que $G$ es un grupo abeliano finito y tiene dos elementos $a$ y $b$ , de tal manera que $\circ(a)=m$ y $\circ(b)=n$ y $lcm(m,n)\neq m,n$ . ¿Es cierto que $\circ(ab)=lcm(m,n)$ ? Gracias de antemano.

Answer 1

La afirmación no es cierta. En $\mathbb{Z}/30 \mathbb{Z}$ , $o(3) = 10$ y $o(5) = 6$ , pero lcm $(6,10) = 30$ y $o(3+5) = o(8) = 15$ .

Answer 2

Pero es cierto que si $\operatorname{ord}(a)=m$ , $\operatorname{ord}(b)=n$ y $\operatorname{gcd}(m, n)=1$ entonces $\operatorname{ord}(ab)=mn=\operatorname{lcm}(m, n)$ .

En general, se puede decir lo siguiente:

Propuesta. Si $G$ es un grupo abeliano finito, y $\operatorname{ord}(a)=m$ y $\operatorname{ord}(b)=n$ . Entonces $$\frac{mn}{\gcd(m, n)^2}\mid \operatorname{ord}(ab) \mid \frac{mn}{\gcd(m, n)}=\operatorname{lcm}(m, n)$$

Parece que ha mostrado $\frac{mn}{\gcd(m, n)^2}\mid \operatorname{ord}(ab)$ tal y como has indicado en los comentarios. ¡Muy bien!

Para la prueba del hecho anterior, véase el artículo

Dieter Jungnickel, Sobre el orden de un producto en un grupo abeliano finito . Mathematics Magazine, Vol. 69, No. 1 (Feb., 1996), pp. 53-57