Creo que este es un ejemplo de el tipo de cosa que usted está buscando:
La sentencia de la teoría de números que puede ser comprobada mediante el axioma de elección y/o la continuidad hipótesis puede ser probada de ZF solo, sin usar el axioma de elección o la hipótesis continua.
En otras palabras, si hay una prueba de una sentencia de la teoría de los números que utiliza de CA y/o CH, entonces usted puede encontrar alguna otra prueba de la frase en la que no usa la CA o de la CH.
Una frase de la teoría de los números aquí es de primer orden de la declaración sobre la estructura de la $\langle \mathbb{N}; +, \cdot; \le\rangle.$ Esta es una declaración acerca de los números naturales en virtud de la costumbre de las operaciones aritméticas y la costumbre de pedidos, donde todos los cuantificadores son más de los números naturales.
Esto se llama una sentencia de la teoría de los números, porque es el tipo de afirmación que se considera normalmente como parte de la teoría de los números (en lugar de, digamos, análisis). Aquí están algunos ejemplos de las frases de la teoría de los números:
Último teorema de Fermat: no existen números enteros positivos $x, y, z,$ $n$ tal que $n\ge 3$ $x^n+y^n=z^n.$
Goldbach de la conjetura: Cada entero positivo mayor que $2$ puede ser escrito como la suma de dos números primos.
La conjetura de Collatz: Si usted comienza con cualquier número entero positivo y generar una secuencia varias veces tomando el actual número $n$ y ya sea dividiendo por $2$ (si $n$ es incluso) o el cálculo de $3n+1$ (si $n$ es impar), que finalmente va a llegar a $1.$ (A ver que este es un primer orden de declaración como se describió anteriormente, usted necesita para establecer la maquinaria de la codificación de secuencias finitas como números individuales, pero que se puede hacer de una manera directa.)
P=NP.
Incluso la hipótesis de Riemann: Como habitualmente por escrito, esto no es una frase de la teoría de los números (se trata de una serie infinita de los números complejos), pero esto es equivalente a una sentencia de la teoría de números. Usted puede ver esto, ya sea hablando de aproximaciones racionales de todos los números involucrados o por medio de uno de los número de la teoría de los equivalentes que son conocidos (que son, posiblemente, la razón por la que la hipótesis de Riemann es de interés de todos modos).
Si alguna de las frases anteriores puede ser comprobada mediante el axioma de elección y la hipótesis continua, a continuación, que en realidad puede ser probada sin esos supuestos.
Ninguna de las anteriores sentencias, excepto 1 son conocidos para ser verdad. Sin embargo, sus negaciones son también las sentencias de número de la teoría, por lo que también es cierto que si alguno de 2-5 se puede refutar el uso de CA y/o CH, entonces puede ser refutada sin esos supuestos.
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Por cierto, aquí están algunos ejemplos de afirmaciones que no son sentencias de la teoría de los números:
Hay una cantidad no numerable de números reales.
El contable de la unión de una contables conjunto de los números reales es contable.
No hay manera de expresar estas sin cuantificar sobre los números reales, o, de manera equivalente, sobre los conjuntos de números naturales. (Al menos para el ejemplo 7, incluso eso no es suficiente; para expresar eso, usted necesita para cuantificar sobre los conjuntos de los números reales.)
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La capacidad de extracción de aire acondicionado y calefacción central a partir de la prueba de cualquier número de la teoría de la instrucción que sigue a partir del hecho de que Gödel del universo construible $L,$ en que AC y CH son verdaderas, tiene los mismos números naturales como las de todo el universo matemático $V$ (junto con la misma suma, multiplicación, y el pedido).
Este tipo de resultado puede ser extendido considerablemente, por el camino. En primer lugar, se aplica a la generalización de la hipótesis continua, ya que es cierto en $L.$ Más curiosamente, el Shoenfield absolutismo teorema muestra que también se aplica a algunos (pero no todos!) frases de análisis; las frases se aplica a se permite la inclusión de cuantificación sobre los números reales y/o conjuntos de números naturales, pero el número de cuantificador alternancias está restringido.
