El espectro de la normal de elementos en C*-álgebras de

Question

Deje $\mathcal{A}$ ser una C*-álgebra y $x \in \mathcal{A}$ normal elemento. Puede usted demostrar que $\left\{ \phi(x) : \phi \text{ is a state on } \mathcal{A} \right\}$ es el cierre convexo de casco del espectro de $x$?

Si lo desea, puede utilizar el resultado anterior para sef-adjoint elementos en C*-álgebras. Es decir, si $a \in \mathcal{A}$ es un uno mismo-adjoint elemento, a continuación, $[a,b]=\left\{ \phi(x) : \phi \text{ is a state on } \mathcal{A} \right\}$ donde $a=\min{\sigma(a)}$ e $b=\max{\sigma(a)}$. Una prueba de este hecho puede encontrarse en la Proposición 7.8 de Conway, por ejemplo.

Answer 1

Dado que el espectro no depende de la C$^*$) álgebra, podemos asumir que $\mathcal A=C^*(x)$. El uso de la Gelfand transformar, podemos identificar a $C^*(x)$$C(\sigma(x))$, $x$ asignado a la función de $z\mapsto z$.

El punto de evaluación de los estados $f\mapsto f(t)$ son precisamente los estados puros de Los estados puros son los extremal puntos del conjunto de los estados de $\mathcal A$. Por lo que cualquier estado $\phi$ es un límite de combinaciones convexas de los puntos de las evaluaciones, lo que significa que $\phi(x)$ es un límite de combinaciones convexas de los puntos en $\sigma(x)$.

Como Jonas legítimamente menciona, uno necesita comprobar que el conjunto no depende del álgebra. Esto se comprueba mediante la comprobación de que cada estado de $C^*(x)$ se extiende a un estado en $\mathcal A$. Así $$\{\phi(x):\ \phi\ \text{ es un estado en }\mathcal A\}=\{\phi(x):\ \phi\ \text{ es un estado en }C^*(x)\}.$$