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El espectro de la normal de elementos en C*-álgebras de

Deje A ser una C*-álgebra y xA normal elemento. Puede usted demostrar que {ϕ(x):ϕ is a state on A} es el cierre convexo de casco del espectro de x?

Si lo desea, puede utilizar el resultado anterior para sef-adjoint elementos en C*-álgebras. Es decir, si aA es un uno mismo-adjoint elemento, a continuación, [a,b]={ϕ(x):ϕ is a state on A} donde a=min e b=\max{\sigma(a)}. Una prueba de este hecho puede encontrarse en la Proposición 7.8 de Conway, por ejemplo.

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Studer Puntos 1050

Dado que el espectro no depende de la C^*) álgebra, podemos asumir que \mathcal A=C^*(x). El uso de la Gelfand transformar, podemos identificar a C^*(x)C(\sigma(x)), x asignado a la función de z\mapsto z.

El punto de evaluación de los estados f\mapsto f(t) son precisamente los estados puros de Los estados puros son los extremal puntos del conjunto de los estados de \mathcal A. Por lo que cualquier estado \phi es un límite de combinaciones convexas de los puntos de las evaluaciones, lo que significa que \phi(x) es un límite de combinaciones convexas de los puntos en \sigma(x).

Como Jonas legítimamente menciona, uno necesita comprobar que el conjunto no depende del álgebra. Esto se comprueba mediante la comprobación de que cada estado de C^*(x) se extiende a un estado en \mathcal A. Así \{\phi(x):\ \phi\ \text{ es un estado en }\mathcal A\}=\{\phi(x):\ \phi\ \text{ es un estado en }C^*(x)\}.

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