Aquí es una manera de acotar $n,m,l$ a partir de la cual un ordenador puede encontrar el resto de las soluciones a continuación.
Como Jack D'Aurizio señala que es equivalente a mostrar $\cos \frac{2\pi}{n} + \cos \frac{2\pi}{n} - \cos \frac{2\pi}{l} = 1$. Deje $L = lmn$ y denotan $\zeta_k = e^{2\pi i/k}$.
En el campo $\mathbb{Q}[\zeta_L]$. Deje $S$ denota el conjunto de residuos modulo $L$ que son relativamente primos con $L$ y, a continuación, indicar $f_k$ el automorphism que envía a $\zeta_L$ $\zeta_L^k$(si es que existe. Entonces: $$\sum_{k \in S} f_k(LHS) = \sum_{k \in S} f_k(RHS)$$
Ahora, mediante el uso de $2 \cos \frac{2\pi}{n} = \zeta_L^{ml} + \zeta_L^{-ml}$ uno puede mostrar $$\sum_{k \in S} f_k(\cos \frac{2\pi}{n}) = \frac{\phi(lmn)}{\phi(n)}\mu(n)$$
Por lo tanto exigimos que $$\frac{\mu(n)}{\phi(n)} + \frac{\mu(m)}{\phi(m)} - \frac{\mu(l)}{\phi(l)} = 1$$
Que delimita $m,n,l$ bastante bien y un equipo puede terminar aquí.
Si $n=2$, a continuación, tenga en cuenta que $$\frac{\mu(m)}{\phi(m)} - \frac{\mu(l)}{\phi(l)} = 2$$ which is easy to check has no solutions because note that $\phi(m) = \phi(l) = 1$ is forced. Similarly $m=2$ has no solutions. Now, if $l=2$ then use the original equation of $L_n^2 + L_m^2 = L_l^2$ to deduce that $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1$ desde la que es fácil encontrar todas las soluciones.
Ahora tome $l,m,n > 2$. Tenga en cuenta que, a continuación, $$\frac{\mu(n)}{\phi(n)} + \frac{\mu(m)}{\phi(m)} \le 1$$
Por lo tanto para una solución a ocurrir necesitamos que $\mu(l) = 0$ o $\mu(l) = -1$. El $\mu(l) = 0$ caso su fácil encontrar $(m,n) = (6,6)$ es la única solución para que tomemos $\mu(l) = -1$.
Podemos suponer ahora que $\mu(n) = \mu(m) = 1$ porque de lo contrario por muy similares estrategias para arriba podemos encontrar todas las soluciones de otra manera. Pero, a continuación, tenga en cuenta que tenemos $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2$$
donde $a = \phi(n)/2$, etc. Esto sólo tiene la solución donde $a,b,c$ son una permutación de $(1,2,2)$, por lo que desde aquí hemos delimitado todas las variables y hemos terminado.
