Para que $(n,m,l)$,$L_n^2+L_m^2=L_l^2$?

Question

Deje $L_n = 2 \sin(\frac{\pi}{n})$ ser la longitud de un lado de la regular $n$-gon inscrito en un círculo.

Para que $(n,m,l)$, $$L_n^2+L_m^2=L_l^2$$ ?

He encontrado por el equipo de búsqueda que (3,6,2), (4,4,2), (4,6,3), (6,6,4), (6,10,5) hacer, y creo que estas son el conjunto completo de soluciones, pero ¿cómo podría demostrarlo?

Mi idea era la de considerar la resolución de $\sin(\frac{\pi}{n} r_1)^2 + \sin(\frac{\pi}{n} r_2)^2 = \sin(\frac{\pi}{n} r_3)^2$ fijos $n$ con cada una de las $r\mid n$. A continuación, $n = 2 \cdot 3 \cdot 5$ funciona para todas las sabe triples, así que si podemos mostrar, por ejemplo, que si $7\mid n$ $L_n$ algebraica de los números enteros no se puede cancelar porque de alguna propiedad de la cúbico irrationals?

Answer 1

Aquí es una manera de acotar $n,m,l$ a partir de la cual un ordenador puede encontrar el resto de las soluciones a continuación.

Como Jack D'Aurizio señala que es equivalente a mostrar $\cos \frac{2\pi}{n} + \cos \frac{2\pi}{n} - \cos \frac{2\pi}{l} = 1$. Deje $L = lmn$ y denotan $\zeta_k = e^{2\pi i/k}$.

En el campo $\mathbb{Q}[\zeta_L]$. Deje $S$ denota el conjunto de residuos modulo $L$ que son relativamente primos con $L$ y, a continuación, indicar $f_k$ el automorphism que envía a $\zeta_L$ $\zeta_L^k$(si es que existe. Entonces: $$\sum_{k \in S} f_k(LHS) = \sum_{k \in S} f_k(RHS)$$ Ahora, mediante el uso de $2 \cos \frac{2\pi}{n} = \zeta_L^{ml} + \zeta_L^{-ml}$ uno puede mostrar $$\sum_{k \in S} f_k(\cos \frac{2\pi}{n}) = \frac{\phi(lmn)}{\phi(n)}\mu(n)$$

Por lo tanto exigimos que $$\frac{\mu(n)}{\phi(n)} + \frac{\mu(m)}{\phi(m)} - \frac{\mu(l)}{\phi(l)} = 1$$

Que delimita $m,n,l$ bastante bien y un equipo puede terminar aquí.

Si $n=2$, a continuación, tenga en cuenta que $$\frac{\mu(m)}{\phi(m)} - \frac{\mu(l)}{\phi(l)} = 2$$ which is easy to check has no solutions because note that $\phi(m) = \phi(l) = 1$ is forced. Similarly $m=2$ has no solutions. Now, if $l=2$ then use the original equation of $L_n^2 + L_m^2 = L_l^2$ to deduce that $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1$ desde la que es fácil encontrar todas las soluciones.

Ahora tome $l,m,n > 2$. Tenga en cuenta que, a continuación, $$\frac{\mu(n)}{\phi(n)} + \frac{\mu(m)}{\phi(m)} \le 1$$

Por lo tanto para una solución a ocurrir necesitamos que $\mu(l) = 0$ o $\mu(l) = -1$. El $\mu(l) = 0$ caso su fácil encontrar $(m,n) = (6,6)$ es la única solución para que tomemos $\mu(l) = -1$.

Podemos suponer ahora que $\mu(n) = \mu(m) = 1$ porque de lo contrario por muy similares estrategias para arriba podemos encontrar todas las soluciones de otra manera. Pero, a continuación, tenga en cuenta que tenemos $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2$$

donde $a = \phi(n)/2$, etc. Esto sólo tiene la solución donde $a,b,c$ son una permutación de $(1,2,2)$, por lo que desde aquí hemos delimitado todas las variables y hemos terminado.