Principio de expansión q para formas modulares

Question

Sea $f(z)$ sea una forma modular de algún peso integral $k \geq 0$ y nivel $\Gamma_1(N)$ (Insisto en que quiero $\Gamma_1(N)$ no $\Gamma_0(N)$ o $\Gamma(N)$ ). Así, para cualquier $d \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^\ast$ uno tiene él operador de diamante $\langle d \rangle$ que se aplicaba a $f$ da lugar a otra forma modular $\langle d \rangle f$ .

¿Es cierto que si el $q$ -ampliación de $f$ en el infinito tiene sus coeficientes en $\mathbb Z[1/N]$ entonces el $q$ -ampliación de $\langle d \rangle f$ para $d \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^\ast$ también tienen su $q$ -expansión en $\mathbb Z[1/N]$ ?

Me gustaría tener un argumento (o referencia) o un contraejemplo. Muchas gracias (me da un poco de vergüenza preguntar esto, pero ahora mismo estoy bastante confuso).

Answer 1

La respuesta es sí al menos si $N>4$ . Sea $\Gamma=\Gamma_1(N)$ y para cualquier anillo $A$ deje $\mathbf{M}_k(\Gamma;A)=\mathbf{M}_k(\Gamma;\mathbf{Z})\otimes_\mathbf{Z}A$ donde $\mathbf{M}_k(\Gamma;\mathbf{Z})$ es la imagen inversa en $\mathcal{M}_k(\Gamma)$ bajo el $q$ -mapa de expansión de $\mathbf{Z}[[q]]$ . Si $A$ es un subring de $\mathbf{C}$ entonces $\mathbf{M}_k(\Gamma;A)$ puede identificarse con la imagen inversa bajo la $q$ -mapa de expansión de $A[[q]]\subseteq\mathbf{C}[[q]]$ . Esto se deduce de la $q$ -(véase la discusión que sigue al Teorema 12.3.4 en el artículo de Diamond e Im sobre formas modulares y curvas modulares). También tenemos $\mathbf{M}_k(\Gamma;A)=\mathcal{M}_k(\Gamma;A)$ para $A$ cualquier piso $\mathbf{Z}$ -donde el objetivo es la geometría definida $A$ -módulo de formas modulares de nivel $\Gamma$ y peso $k$ (véase el teorema 12.3.7 en loc. cit. ).

La acción de los operadores diamante puede definirse sobre $\mathcal{M}_k(\Gamma;A)$ geométricamente y cuando $A=\mathbf{C}$ obtenemos los operadores romboidales habituales mediante $\mathcal{M}_k(\Gamma)\simeq\mathcal{M}_k(\Gamma;\mathbf{C})$ . Esto es suficiente para concluir que si $A$ es cualquier subring de $\mathbf{C}$ , $\mathbf{M}_k(\Gamma;A)$ es preservada por los operadores diamante.

EDIT: Para ser un poco más detallado (creo que esto sería más claro si pudiera producir el diagrama conmutativo que tengo en mente, pero no puedo), tenemos operadores de diamante en $\mathcal{M}_k(\Gamma;A)$ y en $\mathcal{M}_k(\Gamma;\mathbf{C})$ . Desde $\mathbf{M}_k(\Gamma;A)=\mathcal{M}_k(\Gamma;A)$ obtenemos operadores romboidales en el módulo "ingenuo $\mathbf{M}_k(\Gamma;A)$ de formas modulares con coeficientes en $A$ . En $\mathcal{M}_k(\Gamma;\mathbf{C})=\mathcal{M}_k(\Gamma)$ (el LHS es el espacio definido geométricamente y el RHS es el espacio definido analíticamente), los operadores romboidales definidos geométricamente en la fuente corresponden a los operadores romboidales habituales en $\mathcal{M}_k(\Gamma)$ . Por último, el compuesto $\mathbf{M}_k(\Gamma;A)=\mathcal{M}_k(\Gamma;A)\hookrightarrow\mathcal{M}_k(\Gamma;\mathbf{C})=\mathcal{M}_k(\Gamma)$ es la inclusión habitual de la fuente en el objetivo, y por construcción, los operadores de diamante en $\mathcal{M}_k(\Gamma)$ inducir a los de $\mathbf{M}_k(\Gamma;A)$ . Esto demuestra que este $A$ -es estable bajo los operadores diamante.