Es el vector cero en $\mathbb{R}^n$ por sí mismo un subespacio de $\mathbb{R}^n$ ?

Question

W es un subespacio de $\mathbb{R}^n$ si

1. El vector cero W.
2. X + Y W para cualquier X, Y W.
3. aX W para cualquier X W y a R.

Así, dado W = { X : X = [x1...], x1 = 0, x2 = 0, ... xn = 0 } Rn

1. El vector cero W porque cada X en W es el vector cero por definición,
2. X + Y W porque [0...] + [0...] = [0...]
3. aX W porque a[0...] = [0...]

Así que, si lo entiendo bien, el vector cero es en sí mismo un subespacio de $\mathbb{R}^n$ . ¿Es esto correcto?

Además, ¿se puede extender esto para decir que para cualquier W = { X : X = [ $x_1$ ...] } $\mathbb{R}^n$ suponiendo que W es un subespacio de $\mathbb{R}^n$ , $x_i$ (un componente arbitrario de W) sólo puede ser una constante si es 0? (Es decir, $x_i$ no puede ser 1 o 2, pero puede ser 0)

Answer 1

Sí, el conjunto que contiene sólo el vector cero es un subespacio de $\Bbb R^n$ . Puede surgir de muchas maneras mediante operaciones que siempre producen subespacios, como tomar intersecciones de subespacios o el núcleo de un mapa lineal. Tiene dimensión $~0$ no se puede encontrar un conjunto linealmente independiente que contenga algún vector, ya que $\{\vec0\}$ ya es linealmente dependiente (tomando $1$ veces ese vector es una combinación lineal no trivial que da el vector cero). El subespacio es isomorfo a $\Bbb R^0$ . Como cualquier espacio vectorial de dimensión $~k$ y, por tanto, como $\Bbb R^k$ tiene una base formada por $k$ vectores; ya que $k=0$ tal base es el conjunto vacío. De hecho, de forma bastante excepcional, éste es el único base para $\{\vec0\}$ . Que $\vec0$ está en el ámbito del conjunto vacío puede parecer extraño, pero la única combinación lineal que se puede formar del conjunto vacío es la combinación lineal sin ningún término, y el valor de dicha suma vacía (calculada en un espacio vectorial) es por convención el vector cero.

En los comentarios a su pregunta, ha elegido el subconjunto equivocado de los dos disponibles $\emptyset$ y $\{0\}$ para ser candidato a la base; este último tiene $1$ elemento que es demasiado para la dimensión $~0$ , por lo que naturalmente se encuentra que es linealmente dependiente.

Answer 2

Sí. Me llevó un tiempo conseguir esto.

1. Zero es miembro de ${0}$ .
2. ${0}$ es cerrado bajo adición. Sean u y v miembros de ${0}$ . $u=v=0$ por lo que $u+v=0$ .
3. ${0}$ es cerrado bajo la multiplicación escalar.

Answer 3

Sí, es cierto, $\{0\}$ es un subespacio. De hecho, para cualquier espacio vectorial $V$ y cualquier $x\in V$ tenemos que $\{x\}$ es un subespacio de $V$ si y sólo si $x$ es el vector cero de $V$ ya que cualquier subespacio de $V$ debe contener el vector cero de $V$ y el subconjunto de $V$ que contiene sólo el vector cero de $V$ es necesariamente cerrado bajo adición y multiplicación escalar (como has demostrado).