Existencia de una subsecuencia casi seguramente convergente.

Question

Editar: He relajado ligeramente la pregunta a probabilidad positiva en lugar de casi seguro.

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ sea un espacio de probabilidad. Tengo una secuencia de variables aleatorias $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ y una variable aleatoria $X$ tal que \begin{align} \sup_{n}|X_n(\omega)| \le |X(\omega)| \qquad\forall\omega\in\Omega. \end{align} También tengo la propiedad \begin{align} P(X_{n+1} = X_n) > \frac{n}{n+1}. \end{align} Me interesa saber si la probabilidad de que exista una subsecuencia convergente de $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es distinto de cero. Es decir, si existe una subsecuencia $(n_k)_{k\in\mathbb{N}}$ tal que \begin{align} P\left(\lim_{k\rightarrow\infty}X_{n_k}\text{ exists}\right)>0. \end{align}

Pensamientos:

• Basta con demostrar que existe una subsecuencia que converge en probabilidad ya que eso implica la existencia de otra subsecuencia que converge casi con seguridad.
• Por la primera propiedad y el hecho de que $\mathbb{R}$ es separable y completa podemos utilizar el teorema de Prohorov para asegurar la existencia de una subsecuencia que converge en la distribución.
• Podría asumir potencialmente $E(|X|)<\infty$ para que la familia $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es uniformemente integrable, pero no estoy seguro de que eso ayude.

Gracias de antemano.

Answer 1

No necesariamente.

Dejemos que $\xi_i$ sea Rademacher independiente donde $P(\xi_i = 1) = (2i-1)/2i$ , $P(\xi_i = -1) = 1/2i$ . A continuación, establezca $X_n = \prod_{i=1}^n \xi_i$ Así que $X_n = X_{n+1}$ si $\xi_{n+1} = 1$ . Piensa en $X_n$ como el estado de un interruptor de luz en el momento $n$ y $\xi_i$ como indicación de si el interruptor fue accionado en el momento $i$ .

Dada una subsecuencia $X_{n_k}$ , dejemos que $Y_{k} = X_{n_{k+1}}/X_{n_k} = \prod_{i=n_{k}+1}^{n_{k+1}} \xi_i$ indican si el interruptor se conmutó entre los tiempos $n_k$ y $n_{k+1}$ Así que $X_{n_k} = X_{n_{k+1}}$ si $Y_{k} = 1$ . Tenga en cuenta que el $Y_k$ son independientes.

Ahora bien, tenga en cuenta que $E[\xi_i] = 1 - 1/(4i)$ , por lo que tenemos $$\begin{align*}E[X_m / X_n] &= \prod_{i=n+1}^m 1 - \frac{1}{4i} \\ &= \exp\left(\sum_{i=n+1}^m \ln\left(1-\frac{1}{4i}\right)\right) \\ &\le \exp\left(\sum_{i=n+1}^m -\frac{1}{4i} \right)\end{align*}$$ utilizando el hecho de que $\ln(1+x) \le x$ . Por divergencia de la serie armónica, para cada $n$ se aproxima a 0 a medida que $m \to \infty$ . Y también tenemos $E[X_m/X_n] \ge 0$ Esto significa que $E[X_m / X_n] \to 0$ y por lo tanto $P(X_m / X_n = \pm 1) \to 1/2$ .

Así que si pasamos a una subsecuencia tal que cada $n_{k+1}$ es suficientemente mayor que $n_k$ podemos asegurar que $P(Y_k = -1) \ge 1/4$ para todos $k$ . Por el segundo lema de Borel-Cantelli, esto implica que $Y_k =-1$ infinitamente a menudo, casi con seguridad. En otras palabras, la secuencia $X_{n_k}$ oscila entre $\pm 1$ y, por tanto, diverge, casi con toda seguridad.

Tenga en cuenta que aquí está al borde del éxito: si tuviera $P(X_{n+1} = X_n) > 1 - 1/n^{1+\epsilon}$ , el primer lema de Borel-Cantelli daría que $X_n$ es finalmente constante, casi con seguridad, por lo que se tiene una convergencia a.s. de toda la secuencia.