Interpretación de la "tasa de transición" en la regla de oro de Fermi

Question

Esta es una pregunta que me hice hace un par de años, y que un estudiante recientemente me recordó. Mi improvisada respuesta es errónea, y mientras yo puede hacer algo de mano saludando respuestas me gustaría canónica de uno!

En la derivación de la Regla de Oro de Fermi (#2 por supuesto), primero se calcula la cantidad de $P(t)\equiv P_{a\rightarrow b}(t)$ a menor en $t$. Esta es la probabilidad de que, si el sistema en el estado inicial $a$, y la medición se efectúa después de un tiempo de $t$, el sistema se encuentra en estado de $b$. Uno encuentra que, a menor orden en la perturbación y para $\left< a \mid b \right > = 0$, $$P(t) \propto \left( \frac{\sin(\omega t/2)}{\omega/2} \right)^2, \qquad \hbar\omega = E_b - E_a $$

Entonces uno dice $P(t) = \text{const.} \times t \times f_\omega(t)$ donde $t$ aumenta el $f$ se convierte en muy bruscamente alcanzó su punto máximo alrededor de $\omega=0$, con un pico de altura $t$ y la anchura $1/t$, y con un área total debajo de la curva fija en $2\pi$. En otras palabras, $f_t(\omega)$ se parece a $2\pi \delta(\omega)$ grandes $t$.

Ahora supongamos que considerar el total de la probabilidad de $Q(t)$ de saltar a cualquiera de una familia de muy interesante, los estados, por ejemplo, emite fotones de cualquier momenta. En consecuencia, vamos a suponer un continuo de estados con la densidad de energía dada por $\rho(\omega)$. A continuación, uno deduce que $Q(t) \sim \text{const.} \times t \rho$, y define una "tasa de transición" por $Q(t)/t$, lo que observamos es independiente del tiempo.

El problema que tengo con esto es la siguiente: $Q(t)/t$ tiene un significado muy concreto de "La probabilidad de que un salto $a \to F$ (para una familia de $F$ interesantes de los estados) se produce después de realizar una medición de un tiempo de $t$ a partir de que el sistema está en estado de $a$, dividido por el tiempo que nos espera para realizar esta medición." No es inmediatamente claro por qué esto es una cantidad física/contexto experimental que merece el nombre de "tasa de transición". En particular, tenga en cuenta que

• $t$ debe ser lo suficientemente grande que el $\delta$ función de aproximación es razonable, por lo que el pequeño-$t$ régimen de la fórmula no es digno de confianza;
• $t$ debe ser lo suficientemente pequeño para que la perturbación de expansión es razonable (y también, presumiblemente, de modo que el $\delta$ aproximación de funciones no es increíblemente sensible a si existe una verdadera continuidad de los estados o, simplemente, muy finamente espaciados estados unidos), por lo que la gran$t$ régimen de la fórmula no es digno de confianza.
• Por lo tanto, la instalación física en la que se mide la $P(t)/t$ eventos por unidad de tiempo debe usar las propiedades como si algunos de medición/decoherencia se produce de hecho en algunas rango intermedio de $t$. ¿Cuál es el detalle microscópico de esta instalación física, y por qué es este rango intermedio interesante?
• Edit: También me gustaría hacer hincapié en que la naturaleza de la $P(t),Q(t)$ es tal que cada vez que uno "hace una medición", el "tiempo desde que en el estado inicial" se restablece a 0. Parece que el "tiempo entre las mediciones" es en este rango intermedio. (Por supuesto, esto no significa necesariamente que las medidas, pero se podría hacer con la decoherencia veces o similar demasiado, yo soy, simplemente, no estoy seguro.) La gente me dice que la Regla de Oro es utilizado en el cálculo de vidas en la ocasión, así que me gustaría entender por qué esto funciona!

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Sucinta pregunta: ¿En qué sentido es $Q(t)/t$ a una tasa de transición?

Answer 1

En esta respuesta, no vamos a entrar en la medición de los aspectos teóricos de la mecánica cuántica. Aquí vamos sólo se derivan de la gama (la derivación de) la regla de oro de Fermi tiene y es digno de confianza.

I) de Primer orden dependiente del tiempo de la teoría de la perturbación

$$ H~=~H_0+V(t), \qquad |\psi \rangle ~=~ \sum_n c_n \exp\left[\frac{E_nt}{\mathrm{i}\manejadores}\right] |n \rangle, \qquad c_n(t=0)~=~\delta_n^i,$$ $$\etiqueta{1}\mathrm{i}\manejadores\partial_t |\psi \rangle~=~H|\psi \rangle,\qquad H_0|n \rangle~=~E_n|n \rangle, $$

los rendimientos (bajo el supuesto de que el estado final está escasamente poblada en un sentido probabilístico $|c_f| \ll 1$) que

$$\tag{2} \mathrm{i}\hbar~\dot{c}_f ~\approx~ V_{fi}(t)~ e^{\mathrm{i}\omega_{fi}t}. $$

Aquí subíndices $i$ $f$ se refieren a los estados inicial y final para el no-perturbado sistema. Por otra parte,

$$\tag{3} \hbar\omega_{fi}~:=~E_f-E_i$$

es la diferencia de energía, y

$$\tag{4} V_{fi}(t)~:=~\langle f | V(t)| i \rangle$$

es la correspondiente elemento de la matriz de la interacción.

II) En los armónicos de la perturbación [1], el potencial de interacción de lee

$$\tag{5} V(t)~=~\sum_{\pm}W^{\pm} e^{\pm\mathrm{i}\Omega t},$$

donde $\Omega$ es la frecuencia angular de absorción/emisión estimulada. La integración de la eq. (2) wrt. tiempo $t$ conduce a

$$\tag{6} \mathrm{i}\hbar~ c_f ~\stackrel{(2)}{\approx}~ \sum_{\pm}W^{\pm}_{fi}~\exp\left[\mathrm{i}\frac{\omega_{fi}\pm\Omega}{2}t\right]~t~ \sqrt{\eta((\omega_{fi}\pm\Omega)t)}.$$

Uno puede mostrar que esto favorece a las transiciones $\omega_{fi}\approx \mp\Omega $.

III) En la ecuación. (6) hemos definido la función

$$\tag{7} \eta(x)~:=~\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 ~\in~ [0,1]~\subseteq~\mathbb{R}. $$

Mientras estamos en ello, vamos a definir

$$ \tag{8} H(x)~:=~\int_{-x}^{x} \!dx^{\prime}~\eta(x^{\prime}). $$

Tenga en cuenta que

$$\etiqueta{9} H(\infty)~=~\lim_{n\to\infty} H(2\pi n) ~\stackrel{\text{int. por parte}}{=}~ \lim_{n\to\infty} 2 \int_{-2\pi n}^{2\pi n}\!dx~\frac{\sin x}{x} ~=~2\pi$$

y que numéricamente

$$\etiqueta{10} \frac{H(2\pi)}{H(\infty)}~\aprox~ 90 \%, \qquad \frac{H(4\pi)}{H(\infty)}~\aprox~ 95 \%. $$

De hecho,

$$ \tag{11} \lim_{t\to\infty} t~\eta(\omega t)~=~H(\infty)~\delta(\omega). $$

IV) Aquí supongamos por simplicidad se asume un tiempo independiente de la perturbación $\Omega=0$, y dejar el caso $\Omega>0$ como ejercicio para el lector. (Esto significa que $i$ $f$ debe tener aproximadamente la misma energía). A continuación, el tiempo de integración de eq. (2) se simplifica a

$$ \etiqueta{12} \mathrm{i}\manejadores ~c_f ~\stackrel{(2)}{\aprox}~ V_{fi}~ \exp\left[\mathrm{i}\frac{\omega_{fi}}{2}t\right]~t~\sqrt{\eta(\omega_{fi}t)},$$

de modo que la probabilidad de lee

$$ \tag{13} P_f~:=~|c_f|^2~\stackrel{(12)}{\approx}~\left(\frac{|V_{fi}|t}{\hbar} \right)^2\eta(\omega_{fi}t).$$

De primer orden de teoría de perturbaciones (12) es válida si $|c_f|\ll 1$, es decir, en el corto plazo

$$ \tag{14} t ~\stackrel{(12)}{\ll}~ \frac{\hbar}{|V_{fi}|}. $$

V) Deje $\rho_f(E_f)$ ser la densidad de energía de distinguidos los estados finales. (Esto puede no incluir todos los posibles estados finales. En particular, el distinguido final de los estados no incluye el estado inicial $i$, que no es poco poblada: $c_i\approx 1$.) Definir una función

$$ \tag{15} g(\omega_{fi})~:=~ |V_{fi}|^2\rho_f(E_f), $$

visto como una función del estado final $f$ donde el estado inicial $i$ se mantiene fijo. Estamos interesados en una lo suficientemente pequeño intervalo de energía de los estados finales

$$\tag{16} F~:=~\left\{ E_f \left|~|E_f-E_i| ~\leq ~\hbar \Delta \omega\right.\right\} $$

(necesariamente centrada en torno a la energía inicial $E_i$, puesto que se considera un tiempo independiente de la perturbación), de tal manera que la función de $g$ es constante en todo el intervalo de $F$ a una buena aproximación

$$\tag{17} g(\omega_{fi})~\approx~g(0).$$

El pleno de la probabilidad se convierte en

$$P(F)~:=~ \int_F \! dE_f ~\rho(E_f) ~P_f ~\stackrel{(13)+(15)}{\aprox}~ \left(\frac{t}{\manejadores} \right)^2\int_F \! dE_f~ g(\omega_{fi})~ \eta(\omega_{fi}t) $$ $$\tag{18}~\stackrel{(17)}{\approx}~g(0)~ \left(\frac{t}{\hbar} \right)^2\int_F \! dE_f~ \eta(\omega_{fi}t)~\stackrel{(8)}{=}~g(0)~\frac{t}{\hbar}~H(t\Delta \omega). $$

El corto tiempo de la condición (14) por $F$-intervalo de (16) se convierte en

$$ \tag{19} t ~\stackrel{(14)}{\ll}~ \frac{\hbar}{\sup_{f\in F}|V_{fi}|}. $$

[En eq. (19) hemos aplicado un ligero abuso de notación, donde $F$ ahora también denota el conjunto de distinguidos los estados finales en el intervalo de energía de $F$.] Siguiente la regla de oro de Fermi en nuestra notación se lee

$$\tag{20} \frac{P(F)}{t}~\approx~ \frac{g(0)}{\hbar} H(\infty). $$

Para eq.(18) para ser una buena aproximación a la eq. (20), debemos elegir el tiempo

$$\tag{21} t ~\stackrel{(10)}{\gtrsim}~ \frac{2\pi}{\Delta \omega}. $$

En total, el tiempo de $t$ debe satisfacer

$$ \tag{22} \frac{2\pi}{\Delta \omega} ~\stackrel{(21)}{\lesssim}~t~\stackrel{(19)}{\ll}~\frac{\hbar}{\sup_{f\in F}|V_{fi}|} . $$

Esto sólo es posible si la longitud de la $F$-intervalo de (16) es mucho mayor que los correspondientes elementos de la matriz de

$$ \tag{23} \sup_{f\in F}|V_{fi}|~\ll ~\hbar\Delta \omega. $$

Referencias:

1. J. J. Sakurai, Moderna Mecánica Cuántica, De 1994, En La Sección 5.6.

Answer 2

Como para la derivación de la regla de oro de Fermi, hay un cristal de uno por mi mismo:

http://arxiv.org/abs/1404.4280

No hay ninguna mano saludando argumento. Es completamente rigurosa en el sentido matemático. Por supuesto, se basa en algunos supuestos sobre el continuo del espectro y de los acoplamientos.

Al hablar acerca de la regla de oro de Fermi, uno debe tener en mente que este es un primer orden de perturbación resultado. Hasta este menor aproximación, para un caso genérico, nos encontramos con que la población en el estado inicial disminuye linealmente en el tiempo. La tasa de transición es la pendiente, o la tasa de disminución.

Si usted lee mi artículo, verá interesantes e inesperados efectos más allá de este comportamiento lineal. En realidad, lo que hemos encontrado que, bajo los supuestos anteriores y aún dentro de la 1 de la orden de teoría de perturbaciones, es que la población en el estado inicial es un modelo lineal por tramos en función del tiempo!

Answer 3

Tengo una propuesta. Parece que hay una contradicción entre el dominio de validez de la regla de oro de Fermi, que sin duda es sólo válida para los tiempos de $t << \tau = \frac{1}{\Gamma}$ donde $\Gamma$ es una tasa de decrecimiento y $\tau$ una partícula de toda la vida, donde el estado obedece a una ecuación de Schrödinger de la evolución y la visión de un probabilística de decaimiento exponencial hasta que la partícula de vida.

Sin embargo, podemos conciliar los dos, haciendo mediciones repetidas (y repetir un gran número de experimentos) a intervalos regulares $\Delta t = \frac{\tau}{M}$, $M>>1$

Esto podría ser esbozado como este: Inicialmente, en el momento $t_0=0$, el estado es puro, y en base a $\psi_i, \psi_f$, la densidad inicial de la matriz es $\rho(t_0) = Diag (N,0)$ . Durante un tiempo $\Delta t$, hay una evolución en la siguiente ecuación de Schrödinger. En el momento $t_1 = (1)*\Delta t$, no están fuera de la diagonal cero términos de la matriz de densidad. Ahora, se realiza una medición en el tiempo de $t_1 = \Delta t$ que se va a proyectar el sistema en un estado de $\psi_i$$\psi_f$. Con un gran número de experimentos, esto es equivalente a tener, después de la medición, un clásico de estadística matriz de densidad de $\rho_{a.m.}(t_1 = \frac{\tau}{M}) = Diag (N(1-\Gamma \Delta t), N \Gamma \Delta t) = Diag (N(1- \frac{\Gamma \tau}{M}), N \frac{\Gamma \tau}{M})$. Ahora el sistema evoluciona hasta el momento en $t_2 = 2 \frac{\tau}{M}$, con los no-cero fuera de la diagonal términos de la matriz de densidad, en donde se realizan otras mediciones, así que con un montón de experimentos, esto sería equivalente, después de la medición, a un clásico de la densidad de la matriz : $\rho_{a.m.}(t_2 = 2 \frac{\tau}{M}) = Diag (N(1- \frac{\Gamma \tau}{M})^2, N - N(1- \frac{\Gamma \tau}{M})^2)$.

En un momento $t = M' \Delta t = M' \frac{\tau}{M}$, la densidad de la matriz sería : $\rho_{a.m.}(t_{M'} = t) = Diag (N(1- \frac{\Gamma \tau}{M})^{M'}, N - N(1- \frac{\Gamma \tau}{M})^{M'})$. Para $M>>1$, esto es equivalente a $\rho_{a.m.}(t) = Diag (N e^{-{\Gamma t}}, N - N e^{-{\Gamma t}})$