Hoy tengo miedo, me encontré con un razonamiento circular en Rudin Principios de Análisis Matemático( no encontré la fe de erratas que menciona este).
Antes de salir a través de la pregunta, que he recopilado de dos documentos, uno de los campos(en adelante denominado documento 1) y una incompleta documento en la construcción de los números reales a partir de los números racionales(en adelante denominado documento 2), el segundo documento contiene las definiciones y las pruebas que satisfagan los criterios que se hacen antes de probar que $\mathbb{R}$ es un campo (Todos los teoremas excepto el último que es correcto).
En el documento 2, el último teorema, he tratado de demostrar es que el $\mathbb{R}$ que satisfaga a todo el Campo axiomas de la suma.(Consulte el paso 4 del Apendice en el capítulo 1 de rudin del libro) Rudin del libro sólo podía demostrar el Axioma-5 utilizando el teorema 1.20(en Rudin del libro), popularmente conocido como el Archemedian propiedad(puedes ver la página 4 de mi documento 2 para una prueba de cómo se hace). Ahora voy a demostrar que la prueba del teorema 1.20 requiere que el hecho de que $\mathbb{R}$ satisface, al menos, los axiomas de la adición.
Teorema 1.20 (a) Si $x\in \mathbb{R}$, $y\in \mathbb{R}$, y $x>0$, entonces no es un número entero positivo $n$ tal que $nx>y$.
La prueba se sigue de menos-límite superior de la propiedad de los números reales(esto puede ser demostrado con ningún problema, vea el documento) para afirmar que el conjunto de $A=\{nx:n\in\mathbb{N}\}$, si no satisface el teorema tiene una supremum y, por lo tanto tome $\alpha-x<\alpha$ y el uso de la definición de supremum para llegar a una contradicción. Ahora la existencia de $-x$ sigue de A5 de campo, y la propiedad de que Si $y<z$ $x+y<x+z$ donde $x,y,z$ pertenecen a un campo(una parte de la definición de ordenado de campo) es necesaria para demostrar que el $\alpha-x<\alpha$, para mostrar que $\mathbb{R}$ satisface esta propiedad nos exige la proposición 1.14-a (en rudin) o la proposición 1-a (documento 1), cuya prueba de nuevo requiere axiomas A4, A5, A3, A2 y A1, de la existencia de A5 está en juego ahora.
Así a la conclusión de que las cosas demostrando que $\mathbb{R}$ satisface el axioma A5 y el archemedian propiedad son circulares pruebas.
Esta es la pregunta:
- Es allí cualquier manera que usted puede probar A5 sin usar archemedian propiedad? ( Dudo que esto)
- Si las mencionadas uno no es posible, hay alguna manera de probar archemedian propiedad sin ayuda de campo axioma A5? ( Tengo serias dudas de esto)
- O me estoy perdiendo algo?
Si usted no ha entendido mi explicación, a continuación, seguir leyendo. Lo siento, tengo que admitir que soy malo en explicar las cosas, así que aquí hay un problema que me estoy encontrando. Ver mi documento 2, página 4 teorema 2. Demostrando $A5$ requiere de un teorema llamado archemedian de la propiedad, se puede añadir la prueba de Archemedian propiedad, antes del comienzo del teorema de modo que yo pueda completar la prueba del teorema 2.
Nota:
Para hablar acerca de la gravedad de la cuestión, para mí ahora mismo el conjunto de propiedades de $\mathbb{R}$ está en juego, especialmente el universalmente aceptado hecho de que $\mathbb{R}$ es un campo, una ordenada.
