Consistencia de $\operatorname{cf}(\omega_1)=\operatorname{cf}(\omega_2)=\omega$

Question

Es sabido que si $\operatorname{cf}(\omega_1)=\operatorname{cf}(\omega_2)=\omega$ $0^\#$ existe.

Estoy familiarizado con el Feferman-Levy modelo en el que $\omega_1$ es singular, que tiene la misma consistencia de la fuerza como $ZF$. Tengo tres preguntas en este asunto:

1. Puede el Feferman-Levy, de la construcción se llevó a cabo para activar $\omega_5$ a un ser singular, mientras que $\omega_1,\ldots,\omega_4$ son todavía normales; podemos forzar la cofinality de $\omega_5$ a ser uno de los cardenales más pequeñas de sí mismo por el mismo método? (Por supuesto, $5$ fue completamente arbitraria, y mi pregunta es generalizar esto a ninguno de $n$)

2. Habiendo $\operatorname{cf}(\omega_1)=\operatorname{cf}(\omega_2)=\omega$ implica $0^\#$ la consistencia de las necesidades de fuerza a ser relativamente fuerte (es decir, más que débilmente compacto, o mejor, al menos $0^\#$...), pero ¿qué tan fuerte es?

3. Sé que es posible tener todos los innumerables ordinales singular, y que la prueba supone bastante fuerte hipótesis (una clase de supercompacts fuertemente compacto cardenales, si recuerdo bien), ¿cuánto se puede deducir de $\operatorname{cf}(\omega_k)=\omega$ todos los $k<n$, para algunas de las $n$?

(La tercera pregunta puede ser menos adecuado para este sitio web, pero cabe aquí de todos modos)

Answer 1

La persona a la que quieres preguntar acerca de la consistencia de la fuerza es Ralf Schindler. Años atrás ("Sucesivas débilmente compacto o singular cardenales", de la Lógica Simbólica 64 (1999), no. 1, 139-146) Ralf mostró que la existencia de dos periodos consecutivos de singular cardenales implica la existencia de un interior modelo con un Woodin cardenal. El papel que asume un fondo adicional suposición de que hoy en día tenemos ahora cómo eliminar el uso de reciente trabajo de Jensen y Acero, dando el resultado que me han dicho.

Espero que más pueden ser obtenidos mediante la técnica conocida como el "modelo de núcleo de la inducción", pero el problema se vuelve mucho más difícil, tratando de ir más allá de una Woodin cardenal (en particular, el modelo básico de inducción requiere algo así como un poco de elección en el fondo del universo, y no podemos hacer esta suposición aquí. Existen otros graves obstáculos técnicos. Aparecen aquí y también en el resultado de la siguiente apartado).

Ralf del estudiante Daniel Busche miró a este problema en su tesis. En su conjunto el papel de "la fuerza de La sin elección de los patrones de singular y débilmente compacto de cardenales", Ann. Pure Appl. La lógica de 159 (2009), no. 1-2, 198-248, son una muestra de que la suposición de que todos los innumerables cardenales están en singular implica la determinación (es decir, $\omega$ Woodin cardenales) en la consistencia de la fuerza.

De hecho, creo que esto debe implicar (significativamente) más, pero usted debe tener en cuenta que Arthur Apter demostrado que a partir de la determinación de que uno puede obtener de los modelos en todos los innumerables cardenales por debajo de $\Theta$ están en singular ($\Theta$ es muy grande bajo el supuesto de la determinación). Su papel es "ANUNCIOS y los patrones de singular cardenales por debajo de $\Theta$", J. de la Lógica Simbólica 61 (1996), no. 1, 225-235. Hay también muestra que uno puede conseguir un modelo donde el único cardenales por debajo de $\Theta$$\omega$$\omega_1$.

Permítanme ahora hacer un tonto comentario sobre si un "Feferman-Levy tipo de construcción" es posible. Supongo que esto significa en particular que usted desea que la obligan a ser posible a través de la $L$ donde $0^\sharp$ no existe. Por ejemplo, supongamos que queremos tener $\omega_3$ singular, mientras que $\omega_1,\omega_2$ son regulares. Entonces existe un subconjunto $A$ $\omega_3$ de la pequeña orden tipo cofinal en $\omega_3$. Asumiendo $0^\sharp$ no existe, se sigue de cubierta que, en $L$, no es un superconjunto $B$ $A$ (por lo $B$ también puede ser llevado a ser cofinal en $\omega_3$)$|B|\le|A|+\aleph_1$. Esto significa que la verdadera $\omega_3$ es un singular cardenal en $L$. Esto ya haría la construcción en lugar distinto al de la Feferman-Levy modelo. Voy a ver si puedo añadir algo de sustancia más tarde.