Aterrizaje entre $\beth_\lambda$ y $\beth_{\lambda+1}$.

Question

Pregunta principal. ¿Es consistente con ZFC que exista un ordinal límite $\lambda$ y un número cardinal $\nu$ que satisfaga $$\beth_\lambda < \beth_\lambda^\nu < \beth_{\lambda+1}?$$

También me interesa la siguiente variante.

Pregunta secundaria. ¿Es consistente con ZFC que exista un ordinal límite $\lambda$ tal que para algún cardinal $\kappa < \beth_\lambda$, podamos encontrar un número cardinal $\nu$ que satisfaga lo siguiente? $$\beth_\lambda < \kappa^\nu < \beth_{\lambda+1}$$

Claramente, ninguna de las afirmaciones es un teorema de ZFC, ya que GCH implica que las respuestas a ambas preguntas son "no".

Answer 1

La segunda pregunta admite un fácil no.

Si $\nu<\beth_\lambda$, entonces $\kappa^\nu\leq2^\kappa\cdot2^\nu$, ambos de los cuales son más pequeños que $\beth_\lambda$. Si $\beth_\lambda\leq\nu$ entonces tenemos $$\beth_{\lambda+1}=2^{\beth_\lambda}\leq2^\nu\leq\kappa^\nu.$$

En cualquier caso no podemos "caer en la brecha".

La primera pregunta también admite una respuesta negativa, aunque con un poco más de esfuerzo.

Nota que $\beth_\lambda$ es un cardinal límite fuerte, por lo tanto $2^{<\beth_\lambda}=\beth_\lambda$. De esto se sigue que $\beth_\lambda^{\operatorname{cf}(\lambda)}=\beth_{\lambda+1}$. Y deberías ser capaz de terminar la demostración por tu cuenta.