Considere la posibilidad de un cubo unitario en $\Bbb R^3$. ¿Qué es una posición (arriba a la traducción, etc.) de el cubo de tal forma que su proyección en el $Oxy$-plano tiene un área máxima?
Aquí está una foto: si las caras del cubo son paralelos a los tres ejes, a continuación, a la proyección de la unidad cuadrados, con área de $1$. Pero es posible proyecto, con el fin de obtener un hexágono regular (como el naranja, a continuación).
$\qquad\qquad\qquad\quad$
Yo creo que el hexágono regular podría ser un máximo local para el área de la proyección, pero no estoy seguro. Yo no sé ni cómo calcular el área correspondiente de la naranja hexágono (lo que debe ser la longitud de la naranja lado de uno de los seis triángulos equiláteros en el hexágono?).
He resuelto el problema de una unidad de disco en el espacio: el área de la proyección es $\pi \sin(\theta)$, máxima cuando el ángulo de $\theta$ es $\pi/2$ ($\theta$ se indica a la derecha de la imagen).
$\qquad\qquad\qquad\quad$
Traté también de una unidad cuadrada en $2D$, el área máxima se consigue a $\theta=\pi/4$.
$\qquad\qquad\qquad\quad$
Una pregunta similar se podría pedir para un cilindro o un cono en lugar de un cubo (la respuesta es trivial para una esfera, por cierto).
Gracias por sus comentarios!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para un cuerpo convexo, su superficie proyectada área de $P$ en la dirección de visualización $v$ es igual a la integral de superficie $$P = \oint (n\cdot v)^+\,\mathrm dA,$$ donde $n$ $\mathrm dA$ son el normal y el área de la diferencial de la superficie del elemento, y $$x^+ = \max(x,0) = \begin{cases}x & \text{if $x>0$,} \\ 0 & \text{otherwise}.\end{cases}$$
Para una unidad de cubo, $n$ sólo lleva seis posibles valores $(\pm1,0,0)$, $(0,\pm1,0)$, $(0,0,\pm1)$, cada sobre un área de $1$ la unidad de la plaza, por lo que la integral se reduce a $$P = |v_x| + |v_y| + |v_z|.$$ Sujeto a la restricción de que $\|v\|=1$, esto es maximizada en $v = \frac1{\sqrt3}(\pm1,\pm1,\pm1)$, es decir, la proyección a lo largo de un espacio en diagonal, que precisamente da el hexágono regular como una proyección de la forma.
