Mi pregunta es simple al estado: Supongamos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es continua y tiene la propiedad de que $f[G]$ (la imagen de $G$ bajo $f$) es un subgrupo de $\mathbb{R}$ para cada subgrupo $G$ $\mathbb{R}$. ¿Debe un endomorphisme de $f$ $(\mathbb{R},+)$? ¿En otras palabras, es verdad que el $f(x)=ax$ % número real $a$(recordemos que $f$ se asume continua)?
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No necesariamente.
Considere una función de la forma $f(x)=e(x)x+b(x)$ $e(x)\in\mathbf{Q}$ todos los $x$ $b(x)\in\mathbf{Z}$ todos los $x$, para ser especifica, con $b(0)=0$.
Evidentemente, dicha función satisface $f(G)\subset \mathbf{Q}^*G+\mathbf{Q}$ por cada subgrupo $G$$\mathbf{R}$. Vamos a encontrar a $e$$b$, de modo que $f$ es continua y satisface $f(G)= \mathbf{Q}^*G+\mathbf{Q}$ por cada subgrupo $G$ no se reduce a $\{0\}$.
Deje $(J_i)_{i\in\mathbf{I}}$ ser countably muchos distinto de cero segmentos contenidos en el conjunto de $\mathbf{R}^*$ de distinto de cero reales, cuya unión es todo de $\mathbf{R}^*$. Para cada una de las $i\mathbf{N}$ y cada una de las $(p,q)\in\mathbf{Q}\times\mathbf{Q}^*$, elija un entero positivo $n(i,p,q)$, de tal manera que, la definición de $K_{i,p,q}=n(i,p,q)J_i$, tenemos
- el $K_{i,p,q}$ son disjuntos a pares
- el $K_{i,p,q}$ formulario localmente finito de la familia, en el sentido de que para cada una de las $R<\infty$ el número de tripletas $(i,p,q)$ tal que $K_{i,p,q}$ tiene intersección no vacía con $[-R,R]$ es finito.
Ahora defina $e$ a ser igual a $q/n(i,p,q)$ $K_{i,p}$ y definimos $b$ a ser igual a$p$$K_{i,p}$. Podemos extender esto para obtener $f$ continuo con $f(0)=0$, y a trozos afín (con rational laderas y constantes).
A continuación, para cada valor distinto de cero $x$ y cada una de las $(p,q)\in\mathbf{Q}\times\mathbf{Q}^*$ si $x\in J_i$,$f(n(i,p,q)x)=qx+p$; por lo tanto $(\mathbf{Q}^*G+\mathbf{Q})\smallsetminus\mathbf{Q}\subset f(G)$ por cada subgrupo $G$$\mathbf{R}$.
Estamos muy cerca de la necesaria conclusión, sino también obtener la $\mathbf{Q}$, tenemos que considerar también la posibilidad de enteros positivos $n'(i,p)$, por lo que el $L_{i,p}=n'(i,p)K_{i,p}$ son disjuntos a pares y localmente finito y también distinto de la $n(i',p',q')$, y para exigir $f$ a ser igual a$p$$L_{i,p}$.
Así, con esta construcción, $f$ es continua, $f(\{0\})=\{0\}$ $f(G)=\mathbf{Q}^*G+\mathbf{Q}$ para cualquier valor distinto de cero subgrupo de $\mathbf{Q}$. De curso $f$ es no lineal (por ejemplo, $f^{-1}(\{1\})$ contiene un segmento distinto de cero).
