Mostrando la suma de proyecciones ortogonales con gamas ortogonales también es una proyección ortogonal

Question

Demostrar eso si $P$ y $Q$ son dos proyecciones ortogonales con gamas ortogonales, entonces $P+Q$ también es una proyección ortogonal.

Primero tengo que mostrar $(P+Q)^\ast = P+Q$. Me refiero a que desde\begin{align*} ((P+Q)^\ast f , g) & = (f,(P+Q)g) \\ & = (f,Pg) + (f,Qg) \\ & = (P^\ast f,g) + (Q^\ast f,g) \\ & = (Pf,g) + (Qf,g) \\ & = ((P+Q)f,g), \end{align*} obtenemos $(P+Q)^\ast=P+Q$.

No estoy seguro si lo que estoy pensando es correcto ya que supuse que $(P+Q)f=Pf+Qf$ es válido para cualquier operador lineal acotado $P$, $Q$.

$(P+Q)^2=P+Q$, yo uso $$(P+Q)^2= P^2 + Q^2 + PQ +QP,$ $ pero yo no puedo mostrar $PQ=0$ y $QP=0$.

¿Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Para completar su prueba tenemos las siguientes observaciones.

Si $\langle f,g\rangle=0$ todos los $g\in H$,$f=0$. De hecho, tome $g=f$, entonces usted consigue $\langle f,g\rangle=0$. Por definición de producto interior esto implica $f=0$.

Desde $\mathrm{Im}(P)\perp\mathrm{Im}(Q)$, entonces para todos los $f,g\in H$ tenemos $\langle Pf,Qg\rangle=0$. que es equivalente a $\langle Q^*Pf,g\rangle=0$ todos los $f,g\in H$. Mediante la observación de la sección anterior podemos ver que $Q^*P(f)=0$ todos los $f\in H$, es decir,$Q^*P=0$. Desde $Q^*=Q$ $P^*=P$ llegamos a la conclusión de $$ QP=Q^*P=0, $$ $$ PQ=P^*Q^*=(QP)^*=0^*=0 $$

De hecho, $R$ es una proyección ortogonal iff $R=R^*=R^2$. En este caso podemos probar el resultado casi de manera algebraica $$ (P+Q)^*=P^*+Q^*=P+Q $$ $$ (P+Q)^2=P^2+PQ+QP+Q^2=P+0+0+Q=P+Q $$ He dicho casi, porque probar de $PQ=QP=0$ requiere de algunos mecanismos con elementos de $H$ y su producto interior.