La necesidad del campo B

Question

Es bastante fácil, utilizando la relatividad especial básica, llegar a la conclusión de que el efecto de la fuerza magnética sobre las cargas cercanas de los cables que transportan corrientes sobre las cargas cercanas sólo se debe a la contracción de la longitud en ciertos marcos inerciales desde el punto de vista de las cargas, lo que da lugar a un cambio percibido en la densidad de carga. Sin embargo, estructuramos las leyes (clásicas del campo) del electromagnetismo en las leyes de Maxwell utilizando un campo B.

Mi pregunta es, ¿es posible formular las ecuaciones de Maxwell sólo en términos de campos E transformados en Lorentz? Si no es así, ¿por qué no?

Answer 1

No. $\boldsymbol{B}$ es una entidad independiente.

Referencia Jackson, Classical Electrodynamics, Sección 12.2.

Jackson argumenta que el tensor antisimétrico $F$ formulación de EM que todos conocemos y amamos: $$m \frac{\mathrm d^2x^{\alpha}}{\mathrm d\tau^2} = q F^{\alpha\beta} \frac{\mathrm dx_{\beta}}{\mathrm d\tau}$$ no es la única generalización covariante posible de la ley de fuerza del marco de reposo: $$ma=qE$$
De hecho, construye un contraejemplo basado en un potencial escalar de Lorentz $\phi$ . De forma no relativista, este potencial da una fuerza de Coulomb y una fuerza magnética, tal y como vemos, pero no hay un $\boldsymbol{B}$ -campo: en cualquier marco, la fuerza está dada en términos del gradiente 4 del potencial escalar, $\partial_\mu \phi$ y no los 6 componentes de $F$ . Si este escalar de Lorentz fuera la forma en que funciona el mundo, la respuesta a tu pregunta sería sí. Pero no es así.

Answer 2

Sí--- el electromagnetismo se desarrolla desde este punto de vista, como adecuado para un curso de pregrado, en Purcell. La ecuación del movimiento es

$$ma = qE$$

donde E y a están ambos en el marco de reposo. La forma covariante de esta ecuación es la ecuación de movimiento habitual:

$$m {\mathrm d^2x_{\nu}\over \mathrm d\tau^2} = q F_{\mu\nu} {\mathrm dx^\mu\over \mathrm d\tau}$$

Como se puede ver especializando al marco de reposo, así la ley de Newton en el marco de reposo, sólo usando E, es efectivamente covariantemente equivalente a ambos E y B en el marco habitual.

Answer 3

Creo que la clave aquí es su exigencia de una formulación "en términos de Transformación de Lorentz Campos electrónicos".

El campo E es un campo de 3 vectores. Un campo covariante de Lorentz debe ser un campo de 4 vectores o 4 tensores (un campo de Lorentz invariante debe ser un campo escalar de Lorentz).

De hecho, el campo E es, dentro de SR, un componente de un rango 2 campo electromagnético de 4 tensores mientras que los potenciales escalares y vectoriales son componentes de a potencial electromagnético de 4 vectores .

Dado que el campo E es sólo una parte de un tensor covariante de Lorentz, la noción de "campo E transformado de Lorentz" necesita una mayor aclaración.

Answer 4

Si se mira el formalismo covariante de la electrodinámica clásica , puede ver que no tiene que mencionar ni el $\bar{E}$ o $\bar{B}$ campo. Puedes hacer todos tus cálculos con el potencial de cuatro $A_\mu$ y el tensor electromagnético $F_{\mu\nu}$ .