Máxima probabilidad de éxito para distinguir entre dos estados puros con una sola medición

Question

Supongamos que los estados son tales que $\langle \psi_1| \psi_2 \rangle = \cos(\alpha)$ y tienes una medida para distinguir entre los dos. Se afirma que la probabilidad de acertar es $$P = \frac{1+\sin(\alpha)}{2}.$$ ¿Cómo se llega a esta probabilidad?

Answer 1

Este problema se conoce como estimación de máxima verosimilitud Y la mejor manera de hacerlo es de la siguiente manera.

Como sólo hay dos estados implicados, se puede trabajar en un subespacio bidimensional. Elija una base $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ tal que $$\begin{pmatrix} \langle 0|\psi_1\rangle \\ \langle 1|\psi_1\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2)\\\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \langle 0|\psi_2\rangle \\ \langle 1|\psi_2\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2)\\ -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix},$$ que siempre es posible. (En la esfera de Bloch, $|0\rangle$ se encuentra directamente entre $|\psi_1\rangle$ y $|\psi_2\rangle$ y $|1\rangle$ es diametralmente opuesto).

El proceso de medición se describe mediante dos proyectores $\Pi_1$ y $\Pi_2$ que debe satisfacer $\Pi_1\Pi_2=0$ y $\Pi_1+\Pi_2=\mathbb I$ Siempre que $\Pi_1$ se observa uno pronuncia para $|\psi_1\rangle$ y viceversa.

Por lo tanto, la probabilidad de éxito es igual a $$\begin{align} P&= \tfrac12\langle\psi_1|\Pi_1|\psi_1\rangle+\tfrac12\langle\psi_1|\Pi_1|\psi_1\rangle \\&=\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_1\rangle\langle\psi_1|\right] +\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_2|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right] \\&=\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_1\rangle\langle\psi_1|\right] +\tfrac12 -\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right] \\&=\tfrac12+\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\left(|\psi_1\rangle\langle\psi_1|-|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right)\right]. \end{align}$$

En este caso, la combinación de proyectores de estado se puede elaborar para dar $$\begin{align} |\psi_1\rangle\langle\psi_1|-|\psi_2\rangle\langle\psi_2| &= \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) & \sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) \\ \sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \\ y el escuadrón \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) & -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) \\ -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\cos^2(\alpha/2) & \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\\ \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)& \sin^2(\alpha/2)\end{pmatrix} \\ y el escuadrón \begin{pmatrix}\cos^2(\alpha/2) & -\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\\ -\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)& \sin^2(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&= \sin(\alpha) \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \\&=\sin(\alpha)\sigma_x. \end{align}$$

Con esto, la probabilidad es igual a $$P=\tfrac12+\tfrac12\sin(\alpha)\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\sigma_x\right].$$ Aquí el rastro $\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\sigma_x\right]$ debe optimizarse mediante una elección adecuada del proyector. La elección óptima es el $+1$ eigenproyector de $\sigma_x$ Así que $\Pi_1=|+\rangle\langle+|$ es la mejor medida posible.

Para ese proyector la traza es igual a 1, lo que significa que la probabilidad global es $$P=\tfrac12+\tfrac12\sin(\alpha)$$ como se indica en la pregunta.