¿Es posible / permitido utilizar L ' Hôpitals norma los productos?

Question

En nuestras lecturas, hemos tenido L'Hôpitals regla y se define así:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Porque lo tuvimos en nuestras lecturas, nos permite usar esto para encontrar el límite de funciones.

Ahora mi pregunta es, es posible el uso de esta norma para los productos? Si sí, ¿crees que me permitieran hacerlo (ya que hemos dicussed esta regla en nuestra lectura...)?

De hecho, una fracción es un producto al mismo tiempo, ¿no?

Porque también podemos escribir:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)*\frac{1}{g'(x)}$

y se llama producto, o estoy totalmente equivocado aquí?

¿Cómo se usa L'Hôpitals regla para los productos? Posible? Me imagino que tiene algo que ver con la fracción y recíproca. Pero no estoy seguro de eso.

Answer 1

Es un bastante estándar.

Si necesitas encontrar algo así como $$\lim_{x\to un} f(x)g(x)$$ donde $\lim_{x\to a}f(x)=0$ y $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$, puede definir $h(x)=\frac{1}{g(x)}$ y $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{h(x)}$ tener en cuenta. Debe ser capaz de usar la forma de l'Hôpital que sabes en eso.

Por supuesto requiere $g$ ser bien-comportados alrededor de $a$.

Answer 2

Usted puede volver a escribir el producto como un cociente, pero usted tiene que hacer esto antes de hacer los derivados.

Así que si tienes un límite de $\lim_{x\to x_0}(f(x)g(x))$$f(x)\to 0$$g(x)\to\infty$, entonces usted puede, por ejemplo, deciden trasladarse $g$ a el denominador dando a $f(x)/(g(x))^{-1}$. Y ahora, tanto el numerador y el denominador ir a cero, por lo tanto, si también las otras condiciones se cumplen, se puede aplicar l'Hôpital para obtener $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(g(x))^{-1}} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{-(g(x))^{-2}g'(x)} = -\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}(g(x))^{2}$$ Tenga en cuenta que este es no es el mismo que $\lim_{x\to x_0}f'(x)g'(x)$.

Answer 3

Usted sabe que usted puede usar $\frac 0 0$ y $\frac \infty \infty$ en la regla de L'Hôpital. Por lo tanto, si usted tiene $0\cdot\infty$ donde $f(k)\rightarrow0$ y $g(k)\rightarrow\infty$, puede reescribir $\lim_{k\rightarrow c}{f(k)\cdot g(k)}$ $\lim_{k\rightarrow c}{\frac {f(k)}{\frac 1 {g(k)}}}$. Ahora el problema ya no está en el formulario de $0\cdot \infty$ $\frac 0 0$, y así se puede aplicar la regla de L'Hôpital.

Answer 4

Para responder a su pregunta, usted debe considerar lo que L. Hospitales que dice la regla. Voy a romper el teorema de dos partes: la condición y la conclusión. Voy a destacar las condiciones sólo.

Condiciones: 1. $g(x)$ $f(x)$ debe ser continuamente derivable en el abierto barrio de el real de número de $a$. 2. $g'(x)$ no debe ser cero para todos los valores de $x$ abierto en el barrio de $a$. 3. $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$ debe ser $\left[ 0/0 \right]$ o $\left[ \pm \infty / \infty \right]$ indeterminado.

Ahora, para responder a su pregunta sobre si usar el teorema de los productos o no, debo decir que usted debe convertir los productos, especialmente de la forma $0 \cdot \infty$ a los cocientes de la forma $0 / \frac{1}{\infty}$ o $\infty / \frac{1}{0}$ para ajustarse a las condiciones de la L Hospitales de la regla.