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Distribución gamma bivariable de McKay

Dadas las variables de $X$$Y$, que se correlacionan, $X\ge0$, $Y\ge0$ y cada uno sigue una distribución gamma con diferentes parámetros de forma, es decir,$X\sim\Gamma(a_1,\alpha)$$Y\sim\Gamma(a_2,\alpha)$. Entendí que la Articulación PDF $f_{X,Y}(x,y)$ puede ser obtenida haciendo uso de la McKay del bivariante distribución Gamma que se aplica para el caso de los diferentes parámetros de forma.

$\mathbf{First}: $

McKay PDF tiene una condición de $Y>X$ (y viceversa), ¿eso quiere decir que en este caso no hay ninguna situación (en el caso de espacio) de forma tal que $Y=X$?

$\mathbf{Second}: $

Si quiero obtener el promedio de la otra función, denotada por a $G(X,Y)$, yo.e,

$\mathbb{E}[G(X,Y)]=\int^\infty_0\int^\infty_0 G(X,Y)f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

necesito el promedio de los casos individuales al $f_{X,Y}(x,y)$ aplica para$X>y$$X<y$?

¿y el caso de $X=Y$?

su ayuda es muy apreciada.

6voto

SL2 Puntos 3145

Para la distribución de McKay$X$ es una variable gamma que es la suma de un subconjunto de cuadrados extraídos del otro,$Y$, que es la suma de un conjunto mayor de cuadrados. Implicando que$Y>X$ con probabilidad$1$. Véase el artículo original de McKay:

McKay, AT (1934) Muestreo de lotes . Diario de la Real Sociedad Estadística-Suplemento 1 : 207-216.

5voto

Lev Puntos 2212

Usted puede crear toda la familia de distribuciones conjuntas en $(X,Y)$ tal que $X\sim \Gamma(a_1,\alpha)$ $Y\sim \Gamma(a_2,\beta)$ mediante el uso de cúpulas como $$ F_{(X,Y)}(x,y) = \mathbb{P}(X\le x,Y\le y) = \dfrac{F_X(x)F_Y(y)}{1+\varrho (1-F_X(x))(1-F_Y(y))} $$ para $-1\le \varrho \le 1$. La distribución conjunta es continuo, lo que significa que el evento $X=Y$ tiene probabilidad cero.

Ahora, si usted tiene una razón específica para el uso de McKay de la distribución bivariante, con pdf $$ f_{(X,Y)}(x,y) = \alpha^{p+q} x^{p-1} (y-x)^{p-1} \exp\{-\alpha y\} / [\Gamma(p) \Gamma(q)]\,\mathbb{I}_{0\le x\le y} \,, $$ lo que da $$ X\sim \Gamma(p,\alpha)\,,\quad Y\sim \Gamma(p+q,\alpha) $$ como marginales, usted debe calcular $\mathbb{E}[G(X,Y)]$ $$ \int_0^\infty \int_0^y G(x,y)\,\alpha^{p+q} x^{p-1} (y-x)^{p-1} \exp\{-\alpha y\} / [\Gamma(p) \Gamma(q)]\,\text{d}x\,\text{d}y\,. $$

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