Functorialidad de los Morfismos al Esquema Afín

Question

Se sabe que $\text{Mor}(X,Y)$ es en bijective correspondencia con $\text{Hom}(\mathcal{O}_Y(Y), \mathcal{O}_X(X))$, siempre $Y$ es un esquema afín. No entiendo un pequeño pero crucial parte de la surjectivity declaración, y mi pregunta se refiere a esto.

Supongamos $Y=\text{Spec} A$ $X$ está cubierto por la afín subschemes: $\{U_i=\text{Spec} B_i\}_i$. Si se nos da un anillo de morfismos $\phi :A=\mathcal{O}_Y(Y)\rightarrow \mathcal{O}_X(X)$, $\phi$ puede ser integrado con mapas de restricción para dar a $\phi_i : A \rightarrow \mathcal {O}_X(U_i) = B_i$. A continuación, $\phi_i^{-1}$ induce afín esquema de morfismos $f_i:\text{Spec} B_i \rightarrow \text{Spec} A$.

Ahora supuestamente estos afín esquema de morfismos deben ponerse de acuerdo en las intersecciones. Si están de acuerdo, los morfismos puede ser pegado a obtener un morfismos de$X$$Y$, y esto da la surjectivity. Pero yo no entiendo por qué cualquiera de los dos morfismos debe de estar de acuerdo en la intersección. Qing Liu dice que deberían de alguna manera, obviamente de acuerdo sobre afín a subconjuntos de la intersección, y no entiendo por qué debería suceder. Podría alguien por favor sea tan amable de explicar esta supuesta trivialidad a mí?

---

Si alguien todavía tiene la paciencia de leer, permítanme explicar lo que me preocupa en el supuesto de compatibilidad. Usted ve, el esquema de la estructura de $X$ no impone restricción alguna a la isomorphisms $U_i \cong \text{Spec} A_i$. Si hemos compuesto algunos no trivial esquema de automorphism de $\text{Spec} A_i$ con este isomorfismo (es decir, la automorphism en $\text{Spec} R[x,y]$ inducida por el intercambio de $x$$y$) y reemplazar el original de morfismos, a continuación, incluso si morfismos $\{\text{Spec} A_i\rightarrow \text{Spec} R\}$ acordado previamente, el efecto de la automorphism podría causar la morfismos estar de acuerdo no. Tal vez automorphism no tiene ningún efecto cuando se compone con el mapa de restricción del anillo de global secciones?? Al menos eso es lo que parecía ser el caso cuando he intentado esto con afín a los subconjuntos de proyectiva 2-espacio $\mathbb P_R^2$.

Answer 1

Para cualquier affine abierto$W \subset U_i \cap U_i$ tendrás un diagrama conmutativo $$ \begin{array} AA & {\longrightarrow} & \mathcal{O}_X(X) & {\longrightarrow} & \mathcal {O}_X(U_i) = B_i\\ & & \downarrow & & \downarrow\\ & & \mathcal {O}_X(U_j) = B_j & {\longrightarrow} &\mathcal {O}_X(U_i \cap U_i)& {\longrightarrow} &\mathcal {O}_X(W)\\ \end {array} $$ induciendo un diagrama conmutativo (ya que Spec es functorial)

$$ \begin{array} ASpec \mathcal {O}_X(W)& {\longrightarrow} & Spec B_i\\ \downarrow & & \downarrow\\ Spec B_j & {\longrightarrow} & Spec A\\ \end {array} $$ Así que ambos morfismos coinciden en todos los subconjuntos afines de las intersecciones, y así sucesivamente en las intersecciones mismas.

En cuanto a su última preocupación, mejor si dejamos caer las letras$B_i$,$A$, etc? Es decir, reemplazarlos por$\mathcal {O}_X(U_i)$,$\mathcal {O}_Y(Y)$, etc., y usar solamente los isomorfismos canónicos$U_i = Spec \mathcal {O}_X(U_i)$ para subconjuntos afines abiertos.