Integrar:

Question

Si$r \in \Bbb R$ cómo integrar$\displaystyle \int_0^{\pi} \log ( 1 - 2 r \cos \theta + r^2)d\theta$?

Necesito algunos consejos. Caso especial, si$r = 1$ entonces sé que la integral anterior es cero .

Aquí está mi trabajo \begin{align*} \int_0^{\pi}\log (1 - 2 r \cos \theta + r^2)d\theta &= \int_0^\pi\log ((1 - re^{i \theta})(1 -re^{-i\theta} )) d\theta\\ &= \int_0^\pi \log(1 - r e^{i\theta})d\theta + \int_0^\pi\log(1 - re^{-i\theta})d\theta\\ &= \int_0^{2\pi} \log( 1 - re^{i\theta})d\theta \\ &= 0 \end {align *}

Answer 1

Dos pistas:

1. El integrando es una función par de$\theta$$\Rightarrow$ la integral se puede escribir como$\frac12\int_0^{2\pi}$.
2. $1-2r\cos\theta+r^2=(1-re^{i\theta})(1-re^{-i\theta})$.

Answer 2

Sugerencia: Tenga en cuenta que cuando$r<1$ esta es la parte real de$$\frac12 \int_{|z|=r} \log(1-z)^2\,\frac{dz}{iz}$ $ para la rama habitual de$\log$. Cuando$r>1$, vas a necesitar hacer un corte de rama.