Mostrar que$A[x] \cap A[x^{-1}]$ es integral sobre$A$.

Question

Sea $R$un anillo conmutativo,$A$ un subproyecto de$R$, y$x$ una unidad en$R$. Mostrar que cada$y \in A[x] \cap A[x^{-1}]$ es integral sobre$A$.

Se supone que debo usar el hecho de que existe un número entero$n$ tal que el módulo A$M = Ax +..... +Ax^{n}$ es estable bajo la multiplicación por$y$.

¿Cómo puedo probar la existencia de tal$n$ y luego proceder usando la reclamación?

Answer 1

Deje$P=a_pX^p+\ldots+a_0$ y$Q=b_qX^q+\ldots+b_0$,$\ a_i, b_i\in A$ tal que$y=P(x)=Q(1/x)$. Tenemos$y=(1/x^q)S(x)$ donde$S=b_0X^q+\ldots+b_q$, de ahí$x^qy=S(x)$.

Permitir$n=p+q$ y$M=A+Ax+\ldots+Ax^n$.

Para$0\leq k<q$: tenemos$x^ky=x^kP(x)\in M$.

Para$q\leq k<p+q$: tenemos$x^ky=x^{k-q}x^qy=x^{k-q}S(x)\in M$.

Para$k=p+q$: tenemos$x^{p+q}y=x^px^qy=x^pS(x)\in M$.

ahora podemos mostrar por inducción que, para todos$k\geq 0$, tenemos$x^ky\in M$. Por lo tanto,$My \subseteq M$.