¿Cuál es la función de crecimiento asintóticamente más lenta$f(x)$, tal que existe constantes$a$ y$b$, de tal manera que para todo$x>a$, siempre hay un primo entre$x$y$x+bf(x)$?
$f(x)=x$ funciona, ¿$\sqrt{x}$ trabajo,$\log(x)$, o$\log\log(x)$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lo que estamos viendo es una cota superior para el primer lagunas. Bertrands postulado afirma que siempre hay un primer entre el$x$$2x$, pero este ha sido mejorado significativamente. El resultado más reciente debido a Baker Harman y Pintz estados que $$\pi\left(x+x^{0.525}\right) -\pi(x)\gg \frac{x^{0.525}}{\log x}.$$ This means that for sufficiently large $x$, there is always a prime between $x$ and $x+x^{0.525}$. This implies for example that there is always a prime between consecutive cubes, that is there is always a prime in the interval $(x^3,(x+1)^3)$.
Como para el resultado esperado, el artículo de la Wikipedia cubre esto, a ver Conjeturas acerca del primer lagunas. En particular, la Hipótesis de Riemann nos dice que para cualquier $\epsilon$, vamos a tener un primer en el intervalo de $(x,x+x^{\frac{1}{2}+\epsilon})$ para suficientemente grande $x$. Cramer se hizo mucho más fuerte conjetura de que siempre habrá un primer entre el $x$ $x+\log^2x$ para suficientemente grande $x$.
