Ok, así que puedo factor fácilmente regular polinomios cuadráticos, es decir, $5x^2+7x+9$ (no estoy seguro de si eso es primo, que acaba de hacer), y yo estaba trabajando en la solución de $y^2+(x^2+2x−2)y+(x^3−x^2−2x)$ por la distribución de la $y$ después de que el primer paréntesis y ahora estoy atascado. Soy sólo falta cierta habilidad en la factorización de polinomios multivariados? No me digan cosas sobre los anillos y campos, ya que no ayuda a mi situación. Gracias
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Pablo
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39
En este caso, va a estar tomando ventaja de lo que sabe, para arrancar a ti mismo en un nuevo territorio. Básicamente tienes
$$y^2 + By + C,$$
donde $B = x^2 + 2x - 2$ $C = x^3 - x^2 - 2x\ $ no dependen $y$; se ve un poco como una ecuación cuadrática en $y$.
Usando lo que sabemos acerca de la cuadráticas, "sabemos" que debería factor de $(y + p)(y + q) = y^2 + (p + q)y + pq$, si puede ser factorizado. Ahora, ya sabes cómo factor cuadráticas con una variable única, que significa que usted sepa que estamos buscando un par de cosas (sería un par de números, si hemos tenido un buen viejo cuadrática con una variable), llame a $p$$q$, de tal manera que $pq = C$$p + q = B$.
Por lo tanto, vamos a ver cómo se podría encontrar soluciones $p, q$$pq = C = x^3 - x^2 - 2x$.
Podemos factor de $$C = x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) = x(x - 2)(x + 1).$$
Más específicamente, dado que tenemos un par, vamos a ver lo que dos polinomios se multiplican a $C = x(x - 2)(x + 1)$: \begin{align*} C &= x(x^2 - x - 2) \\ &=(-x)(-x^2 + x + 2)\\ &= (x^2 - 2x)(x + 1)\\ &= (-x^2 + 2x)(-x - 1)\\ &= (x^2 + x)(x - 2)\\ &= (-x^2 - x)(-x + 2) \end{align*}
Por lo tanto, tenemos un par de posibilidades para$p$$q$, si sólo requerimos $pq = C$. Ahora vamos a ver si alguno de ellos se suman a $B = x^2 + 2x - 2$.
He aquí, $p = x^2 + x$ $q = x - 2$ va a trabajar. Ya sabemos que se multiplican a $C$, y su suma es, de hecho,$x^2 + 2x - 2 = B$.
Por lo tanto, su polinomio de factores como
$$(y + p)(y + q) = (y + x^2 + x)(y + x - 2).$$
Stephan Aßmus
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16
Comentario en respuestas anteriores, con $A=1,$ $B = x^2 + 2x-2,$ $C = x^3 - x^2 -2x$ tenemos
$$ B^2 - 4 AC = x^4 + 4 x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2, $$ so, in the quadratic formula, $\sqrt {B^2 - 4AC} = x^2 + 2.$ The "roots" for $y$ son
$$ \frac{-B \pm \sqrt {B^2 - 4AC}}{2A}, $$ de modo que los factores son
$$ \left( y - \frac{-B - \sqrt {B^2 - 4AC}}{2A} \right) \left( y - \frac{-B + \sqrt {B^2 - 4AC}}{2A} \right), $$
$$ \left( y + \frac{B + \sqrt {B^2 - 4AC}}{2A} \right) \left( y + \frac{B - \sqrt {B^2 - 4AC}}{2A} \right), $$
$$ \left( y + \frac{x^2 + 2 x - 2 + x^2 + 2}{2} \right) \left( y + \frac{x^2 + 2 x - 2 - x^2 - 2}{2} \right), $$
$$ \left( y + \frac{2x^2 + 2 x }{2} \right) \left( y + \frac{ 2 x - 4 }{2} \right), $$
$$ \left( y + x^2 + x \right) \left( y + x-2 \right). $$
Dark Shikari
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6178
No es tan complicado como muchos piensan. Usted ya se dio cuenta de que esta es una ecuación cuadrática polinomio en y con coeficientes en Z[x]. Vieta del teorema se puede aplicar lo que hemos
$$(y-p_1(x))(y-p_2(x))$$ si puede ser factorizado.
Por lo $p_1(x)$ es un factor de $(x^3−x^2−2x)$. Los factores de $x^3−x^2−2x$ $x$, $x+1$ y $x-2$ multiplicado por una constante números. Usted puede comprobar las posibles soluciones.
Tan pronto como usted haya encontrado un factor de $(y-p_1(x))$, se pueden encontrar el resto de factor de $p_2(x)$ por la división.
Usted puede utilizar esta técnica para polinomios con número arbitrario de variables como tiempo todos los exponentes son inferiores o iguales a 3.
Aquí está un ejemplo con 3 variables y potencias de 3.
