¿Existe una fórmula algebraica que dé esta extraña multiplicación?: $(-x)\circ(-x)=(-x)\circ(x)$

Question

Me gustaría saber si es posible dar una fórmula algebraica equivalente, en términos de operaciones algebraicas normales (es decir $+, -, ×, ÷, x^y$ ), evitando en lo posible $|x|$ para un operador $\circ$ , en el dominio tal que:

\begin{array}{|r | r r r r | r r r | r r r r} \hline \circ & ... & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & ... \\ \hline \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \kern3mu\raise1mu{.}\kern3mu\raise6mu{.}\kern3mu\raise12mu{.} \\ -4 & ... & -16 & -12 & -8 & -1 & 0 & -4 & -8 & -12 & -16 & ... \\ -3 & ... & -12 & -9 & -6 & -1 & 0 & -3 & -6 & -9 & -12 & ... \\ -2 & ... & -8 & -6 & -4 & -1 & 0 & -2 & -4 & -6 & -8 & ... \\ \hline -1 & ... & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & ... \\ 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 1 & ... & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & ... \\ \hline 2 & ... & -8 & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & ... \\ 3 & ... & -12 & -9 & -6 & -3 & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & ... \\ 4 & ... & -16 & -12 & -8 & -4 & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & ... \\ \vdots & \kern3mu\raise1mu{.}\kern3mu\raise6mu{.}\kern3mu\raise12mu{.} & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array}

Como ves, se trata de una especie de multiplicación extraña en la que $(-)\cdot(-)=(-)\cdot(+)=(+)\cdot(-)=(-)$ pero $(+)\cdot(+)=(+)$ . Me interesa sobre todo el subcaso del cuadrado del centro y, si es posible, todos los $\circ$ operaciones en las que al menos una de $-1$ , $0$ o $1$ es un argumento. Si esa operación puede satisfacer al menos la plaza del medio, será suficiente para mí. Como último recurso estoy dispuesto a aceptar la división por cero definida de tal manera que para todo $x$ , $x/0=0$ .

Pero es importante señalar que, aunque no importe demasiado lo que ocurra fuera del dominio $\{-1, 0, 1\}$ la operación debe estar definida para todos los enteros: sin módulos, sin dominios restringidos.

Si eso no es posible, ¿qué estrategia debo utilizar para demostrarlo?

ps: Como no soy matemático, me gustaría pedir disculpas por cualquier error formal o conceptual que haya cometido. No obstante, las correcciones son más que bienvenidas.

Answer 1

Se puede evitar el uso de las funciones de valor absoluto y de signo si se cambia la representación del dominio. Utilicemos una construcción de signo y magnitud. Un entero es un par $(\sigma, n)$ donde $\sigma$ es el símbolo $+$ o el símbolo $-$ , $n$ es un número natural, e identificamos $(+,0)=(-,0)$ . Para un número natural $n$ , nosotros puede utilizar la abreviatura $n=(+,n)$ y $-n=(-,n)$ . Pero siempre que queramos definir cualquier operación sobre números enteros, podemos optar por definir la operación sobre el signo y la magnitud de forma independiente; y la operación estará bien definida siempre que respetemos $(+,0)=(-,0)$ .

Con esa configuración, la definición es justa: $$(\sigma,x)\circ(\tau,y)=(\min(\sigma,\tau),xy)$$ Entonces observe que si cualquiera de los dos $x=0$ o $y=0$ entonces $xy=0$ así que el signo no importa, y hemos terminado.

Si no está satisfecho con el $\min$ podemos prescindir también de ella, representando el signo símbolo como señal bit . La representación informática habitual sería $0=+$ y $1=-$ . Pero es un poco mejor para nosotros elegir lo contrario, $0=-$ y $1=+$ . Entonces tenemos: $$(\sigma,x)\circ(\tau,y)=(\sigma\tau,xy)$$ que es lo más sencillo que se puede esperar.