¿Hay un mapa $\mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}^2$ que mapea grandes círculos a líneas?

Question

Dejemos que $U \subseteq \mathbb{S}^2$ sea un pequeño conjunto abierto. ¿Existe un mapa suave $f:U \to \mathbb{R}^2$ que preserva las geodésicas?

(es decir, si $\alpha$ es (parte de) un gran círculo, entonces requiero $f \circ \alpha$ para ser una línea recta).

(No existe tal mapa conforme, ya que todo mapa conforme que preserva la geodésica es una isometría a escala . En particular, se excluye de la búsqueda la proyección estereográfica).

Answer 1

Como comentó por el amante del kimchi,

el proyección gnomónica mapea grandes círculos a líneas rectas. (Se puede definir en un subconjunto del hemisferio).