Prueba de inducción de $F(n)^2+F(n+1)^2=F(2n+1)$ , donde $F(n)$ es el $n$ número de Fibonacci.

Question

Dejemos que $F(n)$ denota el $n$ número de la secuencia de Fibonacci. Entonces para todo $n\in\mathbb{N}$ , $$F(n)^2+F(n+1)^2=F(2n+1).$$

Sé cómo demostrarlo utilizando la fórmula $$F(n)=\frac{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n}{\sqrt{5}},$$ pero ¿hay alguna forma de demostrarlo por inducción?
Estoy en el año 12 estándar, así que por favor no profundices demasiado.

Answer 1

Los casos base $n=0$ et $n=1$ son fáciles de verificar. Tenga en cuenta que \begin{align*} F(2n+3)&=F(2n+2)+F(2n+1)=(F(2n)+F(2n+1))+F(2n+1)\\ &=F(2n)+2F(2n+1)\\ &=(F(2n+1)-F(2n-1))+2F(2n+1)\\&= 3F(2n+1)-F(2n-1). \end{align*} Por lo tanto, por la hipótesis inductiva, \begin{align*} F(2n+3)&=3F(2n+1)-F(2n-1)=3(F(n)^2+F(n+1)^2)-(F(n-1)^2+F(n)^2)\\ &=2F(n)^2+3F(n+1)^2-F(n-1)^2\stackrel{?}{=}F(n+1)^2+F(n+2)^2. \end{align*} Así que queda por demostrar que $$F(n+2)^2+F(n-1)^2\stackrel{?}{=}2F(n)^2+2F(n+1)^2$$ que se mantiene porque \begin{align*} F(n+2)^2+F(n-1)^2&=(F(n+1)+F(n))^2+(F(n+1)-F(n))^2\\&=2F(n)^2+2F(n+1)^2. \end{align*}

Answer 2

Es difícil demostrar esta fórmula directamente por inducción, pero es fácil demostrar una fórmula más general: $$F(m) F(n) + F(m+1) F(n+1) = F(m+n+1).$$ Para ello, trate $m$ como una constante e inducir en $n$ . Necesitarás dos casos base $$F(m) F(0) + F(m+1) F(1) = F(m+1)$$ $$F(m) F(1) + F(m+1) F(2) = F(m+2)$$ que son la trivial y la recurrencia de Fibonacci respectivamente. A partir de ahí, la $n-1$ y el $n$ caso no son difíciles de combinar en el $n+1$ caso.

Answer 3

\begin{align} &F(x)=F(x-1)+F(x-2) = F(2)F(x-1)+F(1)F(x-2). \ \\ \ \\ &F(x-1)=F(x-2)+F(x-3) \\ &\Rightarrow F(x)=F(2)(F(x-2)+F(x-3))+F(1)F(x-2)=(F(1)+F(2))F(x-2) \\ &+F(2)F(x-3)=F(3)F(x-2)+F(2)F(x-3). \ \\ \ \\ &F(x-2)=F(x-3)+F(x-4). \\ &\Rightarrow F(x)=F(3)(F(x-3)+F(x-4))+F(2)F(x-3)=(F(2)+F(3))F(x-3) \\ &+F(3)F(x-4)=F(4)F(x-3)+F(3)F(x-4). \\ &\cdot \\ &\cdot \\ &\cdot \\ &\therefore F(x)=F(k+1)F(x-k)+F(k)F(x-k-1). \\ &x=2k+1; \ F(2k+1)=F(k)^2+F(k+1)^2. \\ \ \\ &\therefore F(x)^2+F(x+1)^2=F(2x+1).\end{align}