¿Podría alguien recordarme de un ejemplo de un tipo completo incontable no aisladas que no puede ser omitido?
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Yo valientemente seguido Chang & Keisler de referencia para la 1962 papel Bemerkung zu Einer Arbeit E. Engelers por Gebhard Fuhrken, y yo era capaz de extraer el ejemplo. Yo no puedo leer en alemán, de modo que los detalles puede no ser exactamente el mismo que Fuhrken, pero creo que la idea principal es la misma.
Primero un poco de motivación: La idea en el ejemplo de Chang y Keisler, como se presenta en el Levon la respuesta, es tener un innumerable conjunto de constantes $(c_i)_{i\in \aleph_1}$ que la fuerza de un modelo a ser innumerables, y una contables conjunto de constantes $(d_j)_{j\in \omega}$, para asegurarse de que el tipo parcial $p(x) = \{x\neq d_j\mid j\in \omega\}$ (que no es omittable, gracias al tamaño del modelo) no es equivalente a una sola fórmula. Pero si queremos completar la teoría, la no-omittable terminaciones de $p$ están aisladas por las fórmulas de la forma $x = c_i$. Podemos tratar de solucionar este problema mediante la separación de la $c_i$$d_j$: poner el $c_i$ $d_j$ en distintos predicados unarios $C$$D$, respectivamente, y agregar$D(x)$$p$, por lo que el $x = c_i$ es incompatible con $p$ todos los $i$. Pero, a continuación, $p$ podría ser completamente omitido, ya que la realización de $D$ podría consistir en las constantes. Ok, ¿cómo podemos forzar la realización de $D$ a ser incontables demasiado? Podríamos agregar un bijection $f$$C$$D$. Pero esto no es bueno, porque recouples $C$$D$: en cualquier finalización, la no-omittable terminaciones de $p$ están aisladas por las fórmulas de la forma $x = f(c_i)$. La corrección final es agregar no sólo un bijection $f$ que nos puede referirse por su nombre, sino toda una parametrización de la familia de bijections.
Considerar el lenguaje con $3$ predicados unarios $F$, $C$, y $D$ (o $3$ tipo con estos nombres), una relación ternaria $R$ (en la ordenada contexto, $R$ tipo $F\times C\times D$), y la constante de símbolos $(c_i)_{i\in\aleph_1}$ (de tipo $C$) y $(d_j)_{j\in \omega}$ (de tipo $D$).
Deje $M$ ser una estructura en la que se $C$ $D$ son interpretados como distintos conjuntos de tamaño $\aleph_1$ $F$ se interpreta como el conjunto de todos los bijections $C\to D$. Nos pusimos $R(f,c,d)$ si y sólo si $f\in F$, $c\in C$, $d\in D$, y $f(c) = d$. Podemos interpretar la $c_i$ como cualquiera de los elementos distintos de a $C$ e las $d_j$ como cualquiera de los elementos distintos de a $D$. Deje $T = \text{Th}(M)$.
Tenga en cuenta que $T$ contiene frases afirmar que para todos los $f\in F$, $R(f,-,-)$ es el gráfico de un bijection $C\to D$, y si $R(f,-,-) = R(g,-,-)$$f = g$. Así, en cualquier modelo, podemos identificar los elementos de $F$ con el bijections $C\to D$ que codificar.
Y $T$ también contiene una frase afirmando que para cualquier $d$$d'$$D$, y para cualquier $f$ $F$ existe $f'$ $F$ tal que $f' = \sigma\circ f$ donde $\sigma$ es la permutación de $D$ intercambio de $d$$d'$. Tal $f'$ es necesariamente único, por la observación anterior.
¿Cuáles son los tipos en la única variable de la $x$, sobre el conjunto vacío, y de conformidad con $D(x)$? No hay duda de que son los aislados por $x = d_j$ todos los $j$. Yo reclamo que (1) hay otro tipo: el tipo parcial $p(x) = \{D(x)\}\cup \{x \neq d_j\mid j\in \omega\}$ es realmente completa, y (2) $p$ se realiza en cada modelo de $T$. Si podemos demostrar (1) y (2), hemos terminado, ya $p$ no está aislado (por compacidad).
Así que vamos a $N\models T$ ser cualquier modelo. Vamos a mostrar que el $N$ da cuenta de $p$, y cualquiera de las dos realizaciones son conjugado por un automorphism de $N$ (al $N$ es lo suficientemente saturada, esto demuestra que $p$ no puede tener varias terminaciones). Gracias a las constantes, $C$ es incontable, y $T$ dice $F$ es no vacío y cada elemento de a $f$ codifica un bijection $C\to D$, lo $D$ es incontable, por lo que contiene de la realización de la $p$. Deje $d$ $d'$ ser distintas realizaciones de $p$$N$, vamos a $\sigma$ ser la permutación de $D$ intercambio de $d$$d'$, y definir $\tau\colon N\to N$, de modo que $\tau$ actúa como la identidad sobre $C$, $\tau$ actúa como $\sigma$$D$, y $\tau$ actúa en $F$ mediante el envío de $f$$\sigma\circ f$. A continuación, $\tau$ es un automorphism de $N$.
Levon Haykazyan
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Este es un ejemplo de Chang y "Teoría de modelos" de Keisler. Que $L$ ser dejó de la lengua que consta de símbolos constantes $\{c_\alpha : \alpha < \aleph_1\} \cup \{d_n : n < \omega\}$, que $T = \{c_\alpha \neq c_\beta : \alpha \neq \beta\}$ $p(x) = \{x \neq d_n : n < \omega\}$. Entonces $p$ no es aislado. Sin embargo cualquier modelo de $T$ es incontable y por lo tanto tiene una realización de $p$.
