Es de la suma de términos positivos de $2012$ $10.$

Question

Una secuencia tiene $2012$ positivamente agregar a $10$ demuestra que la suma del producto de dos términos consecutivos es menor que $25.$

Lo he intentado usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, pero no pudo encontrar la prueba.

Encontrar el valor máximo (donde la igualdad de tiene).

Answer 1

Deje $a_1, a_2, \cdots, a_{2012}$ ser la secuencia en la mano. Aviso en la suma de términos consecutivos

$$\sum_{k=1}^{2011} a_k a_{k+1}$$ Un factor que viene desde el set $\{ a_1, a_3, a_5, \cdots a_{2011} \}$, mientras que el otro viene desde el set $\{ a_2, a_4, \cdots, a_{2012} \}$. Además, no todos los pares de $a_i a_j$ $i$ impar, $j$ incluso se incluyen en la suma.

Esto lleva a $$\sum_{k=1}^{2011} a_k a_{k+1} < \left(\sum_{i\text{ impar}} a_i\right) \left(\sum_{j\text{ incluso}} a_j\right) \le \left(\frac{\sum_{i\text{ impar}} a_i + \sum_{j\text{ incluso}} a_j}{2}\right)^2 = \left(\frac12 \sum_{i=1}^{2012} a_i\right)^2 = 25\etiqueta{*1}$$

Sobre la otra pregunta en relación con el valor máximo, el valor máximo no existe.

Para cualquier pequeño $\epsilon$, si fijamos $a_1 = a_2 = 5-1005\epsilon$$a_k = \epsilon$$k > 2$, tenemos

$$ \sum_{k=1}^{2012} a_k = 10 \quad\text{ y }\quad \sum_{k=1}^{2011} a_k a_{k+1} = (5-1005\epsilon)^2 + (5-1005\epsilon)\epsilon + 2009 \epsilon^2 $$

Esto implica $$S \stackrel{def}{=} \sup \left\{ \sum_{k=1}^{2011} a_k a_{k+1} \right\} \ge \lim_{\epsilon \to 0} (5-1005\epsilon)^2 + (5-1005\epsilon)\epsilon + 2009 \epsilon^2 = 25$$

Desde $(*1)$ implica $S \le 25$, el supremum de la suma de $S = 25$.

Aviso de la desigualdad en $(*1)$ siempre es estricta. No hay ninguna configuración de $a_k$, lo que puede hacer la suma de $\sum_{k=1}^{2011} a_k a_{k+1}$ igual a la supremum. Esto significa que la máxima no existen.