Calcular límite por inducción (tema de "paso inductivo de la existencia")

Question

Se me pidió para calcular el límite $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\displaystyle\prod_{k=1}^n (1+x^k) - 2^n}{x-1}$

Mi planteamiento era el siguiente

i) Definir $L(n):=\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\displaystyle\prod_{k=1}^n (1+x^k) - 2^n}{x-1}$

ii) $L(1)$ existe y tratando de escribir $L(n+1)$ en términos de $L(n)$, resulta que $L(n+1)$ existe el fib y $L(n)$ existe (a partir de la segunda línea de las siguientes igualdades)

$$\begin{align*} L(n+1) & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1} (1+x^k) - 2^{n+1}}{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( 2\times \dfrac{\displaystyle\prod_{k=1}^n (1+x^k) - 2^n}{x-1} + \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}\times \prod_{k=1}^n (1+x^k)\right) \\ & = 2L(n) + (n+1)\times 2^n \end{align*}$$

iii) la algebraïc identidad de la vinculación de $L(n)$ $L(n+1)$ $L(n+1) = 2L(n) + (n+1)\times2^n$

iv), Entonces he definido $l(n):=\dfrac{L(n)}{2^n}$ a notar que satisface la telescopable relación $l(n+1)-l(n) = \dfrac{n+1}{2}$

v) de Computación $l(n)$ $L(n)$ ahora es fácil y el resultado es $L(n) = 2^{n-1}\times \dfrac{n(n+1)}{2}$

Mi pregunta es que un amigo se opuso paso (ii) (tercera línea alineados ecuaciones) me dice que el problema de la existencia no está resuelto todavía la manera en que yo lo hice, y que no podemos hacer tal manipulación de expresiones nos manipulan no están justificados de antemano a existir. Como yo lo veo, desde que $L(1)$ existe y averiguar que $L(n+1)$ existe iff $L(n)$ no es suficiente para este problema de la existencia.

Me pregunto si estoy bien o mal y es la prueba de que yo siempre lo suficientemente riguroso, de lo contrario lo que necesito es agregar a la mejor

Gracias de antemano por cualquier sugerencia / consejo.

Answer 1

No veo nada malo en su enfoque. Usted probó correctamente que:

1. Límite $L(n)$ existe si y sólo si existe el límite de $L(n+1)$.
2. Si existen ambas, entonces $L(n+1)=2L(n)+(n+1)2^n$.

Así que, ahora, desde $L(1)$ existe, es sólo cuestión de utilizar la inducción para calcular el valor de $L(n)$ cada $n\in\mathbb N$.

Answer 2

Sus ideas son correctas.En el segundo paso sugiero no tomar límites, porque no conoce el límite en el lado izquierdo existe.Acabo de hacer los cálculos de los límites en el lado derecho de la igualdad que sabemos que existen a partir de la hipótesis de inducción y etc.

A continuación, después de calcular estos luego de tomar límites a la izquierda.

utilizando el hecho de que el límite de $f+gh$ a un punto de $x_0$ es igual a $\lim f+(\lim g \lim h)$

si $\lim g,\lim f, \lim h$ existen en $x_0$(y son números reales).

Aquí es otra prueba de la existencia con la noción de derivada:

También dejar claro yo uso solo la definición de derivada y no la regla de L'Hospital de porque de la etiqueta.

Este límite existe $\forall n\in \mathbb{N}$ porque:

Deje $n \in \mathbb{N}.$

Tomar la función de $f(x)=\prod_{k=1}^n(1+x^k)$ que es diferenciable.

Tenemos que $$\lim_{x \to 1}\frac{\prod_{k=1}^n(1+x^k) -2^n}{x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$$

Ahora bien, si usted desea, usted puede usar la inducción para calcular $f'(1)$ como un ejercicio.

Answer 3

Lo has hecho bien: la prueba de la existencia de $L(n)$, para todos los $n\ge1$, que es bueno porque usted sabe que $L(1)$ existe y que $L(n+1)$ existe tan pronto como $L(n)$.

Una estrategia diferente, mostrando el poder de cálculo diferencial es darse cuenta de que esta es la derivada en $1$ de $$ f_n(x)=\prod_{k=1}^n(1+x^k) $$ y que, por $x>0$, $$ \log f_n(x)=\sum_{k=1}^n \log(1+x^k) $$ Por lo tanto $$ \frac{f_n'(x)}{f_n(x)}=\sum_{k=1}^n\frac{kx^{k-1}}{1+x^k} $$ y, teniendo en cuenta que el $f_n(1)=2^n$, obtenemos $$ f_n'(1)=2^n\sum_{k=1}^n\frac{k}{2}=2^{n-2}n(n+1) $$ Nada de imaginación telescópica y otros problemas. Entiendo que ustedes no han hecho derivados; cuando te han hecho ellos, revisar y juzgar por ti mismo cuál es la mejor estrategia.