Cómo probar $\cos 20^{\circ}$ no es racional?

Question

Cómo probar $\cos 20^{\circ}$ ¿no es racional?
Intenté algo para hacer una prueba, déjame mostrarte mi trabajo. $$\cos 60^{\circ}=4\cos ^320^{\circ}-3\cos 20 ^{\circ}\\ \frac{1}{2}=4\cos ^320^{\circ}-3\cos 20 ^{\circ}\\\cos 20^{\circ}=x\\8x^3-6x-1=0$$ las posibles raíces racionales son $\in\{\pm 1,\pm \frac{1}2,\pm \frac 14,\pm\frac18\}$ pero ninguno de ellos funciona en la ecuación, por lo que la ecuación no tiene raíz(es) racional(es), por lo tanto $x \in \mathbb{Q^c}$

¿Es cierto mi juicio?
¿Hay otra(s) idea(s) para mostrar $\cos 20^{\circ}$ ¿no es racional?

Answer 1

Dejemos que $n\in\mathbb{N}$ con $n\geq 3$ .

Reclamación. $\cos\frac{2\pi}{n}$ es un número algebraico sobre $\mathbb{Q}$ con grado $\frac{\varphi(n)}{2}$ .

Prueba. Es fácil de construir a partir de $\Phi_n(x)$ un polinomio con coeficientes enteros y grado $\frac{\varphi(n)}{2}$ que se desvanece en $x=\cos\frac{2\pi}{n}$ . Por ejemplo, en el caso $n=18$ tenemos que el polinomio palindrómico $\Phi_{18}(x) = x^6-x^3+1$ se desvanece en $x=\exp\left(\frac{2\pi i}{18}\right)$ . Desde $$ \frac{\Phi_{18}(x)}{x^3} = \left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-1 = \left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-1$$ tenemos que $p(x)=8x^3-6x-1$ se desvanece en $x=\cos\frac{2\pi}{18}$ . La teoría general subvenciones que $\Phi_n(x)$ es un polinomio irreducible, por lo que $\exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)$ es un número algebraico sobre $\mathbb{Q}$ con grado $\varphi(n)$ . La fórmula de De Moivre $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sqrt{1-\cos^2\theta}$ entonces concede que el polinomio encontrado por el procedimiento anterior es el polinomio mínimo de $\cos\frac{2\pi}{n}$ .

Corolario nº 1 . Desde $20^\circ=\frac{2\pi}{18}$ y $\frac{\varphi(18)}{2}>1$ , $\cos 20^\circ\not\in\mathbb{Q}$ .

Corolario nº 2 . No podemos construir un $9$ -agon con la regla y el compás solamente.