Todas las soluciones de $f'(x)=f(x+\pi/2)$

Question

Considere la siguiente ecuación (con $f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$): $$f'(x)=f(x+\pi/2)$ $

Esta ecuación es satisfecha por $f(x) = A\cos(x) +B\sin(x)$, para cualquier $A,B \in \mathbb{R}$.

Pregunta: ¿Cuáles son las (otras) de soluciones de esta ecuación (si existe)?

Answer 1

El "Ansatz" $f(x):=e^{\lambda x}$ conduce a la ecuación $$\lambda=e^{\lambda\pi/2}$ $ con el % de soluciones obvias $\lambda=\pm i$. Pero hay (probablemente una infinidad) otras soluciones complejas, uno de ellos es $$a\pm ib:=1.0214 \pm 4.86821 \, i$ $ (se encuentran numéricamente). Las funciones $$f(x):=e^{ax}\bigl(A\cos(bx)+B\sin(bx)\bigr)$ $ son entonces nuevas soluciones de la ecuación diferencial de retraso.

Answer 2

Una heurística comentario. El ansatz anterior funciona debido a la demora operador $f(\cdot) \mapsto f(\cdot+a)$ puede ser formalmente por escrito como $e^{aD}$ donde $D = \frac{d}{dx}$. Esto es simplemente el operador del lado de la manifestación de la del teorema de Taylor.

Por lo que su ecuación puede ser formalmente por escrito como $(D - e^{\frac{\pi}{2}D}) f = 0$. Teniendo en cuenta que las funciones propias de $D$ son funciones exponenciales, este operador diagonalizes, en el espacio de las exponenciales:

$$(\lambda - e^{\frac{\pi}{2}\lambda}) e^{\lambda x} = 0.$$

Así que basta a la caza de los valores de $\lambda$ que $\lambda - e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = 0$ mantiene. Por supuesto, toda esta discusión no es tan rigurosa como la posibilidad de otro tipo de soluciones está todavía abierto.

(Aunque yo humildemente la sospecha de que el lapso de las soluciones de la forma anterior es en algún sentido " denso en $C^{\infty}$', por lo que cualquier solución es, posiblemente infinita combinación lineal de las soluciones de la forma anterior).