Un problema sobre funciones periódicas

Question

Supongamos que $f(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función periódica con un período positivo mínimo $T$. ¿$g(x)=f(x^2)$ Puede ser periódica?

Sé que es imposible si se agrega la condición $\forall x \in (0,T),f(x)\not=f(0)$. ¿Pero hay un contraejemplo para el caso general? Gracias por cualquier ayuda de antemano.

Answer 1

Esta pregunta está muy por encima de mi liga, yo, sin embargo, intentar una solución para propósitos de aprendizaje, perdón a nadie cuyo tiempo de desperdicio en el proceso.

$f$ es una función periódica, con periodo mínimo $T$. Sin pérdida de generalidad, podemos cambiar la escala de la $x$-eje, de manera que han período de $T=1$. Deje que nosotros todavía llamar a la re-escalado de la función $f$.

Por definición, $$f(0) = f(1) = \cdots = f(j)$$ for any $j \in \mathbb{N}$.

Como $g(x) = f(x^2)$, esto implica $$g(0) = g(1) = g(\sqrt{2}) = \cdots = g(\sqrt{j}) $$ for any $j \in \mathbb{N}$.

Si $g$ eran periódicas de periodo $T'$, el número de ocurrencias en que $g$ alcanzado el valor de $g(0)$ entre cualquiera de las $x$ $x+ T'$ sería constante. Si el número de tales occurrances era finito, llegaremos a un contraddiction.

De hecho, esto no sería posible ya que hay un número cada vez mayor de los valores del tipo $\sqrt{j}$, $j \in \mathbb{N}$, en los intervalos de $(x, x+ T')$ $x$ aumenta.

El caso en el que la función de $g$ alcanza el valor de $g(0)$ infinitamente a menudo durante un período que se está estudiando, siguiendo las observaciones hechas en los comentarios de M. Invierno.