¿Cuál es la longitud de una onda sinusoidal de $0$ à $2\pi$ ?

Question

¿Cuál es la longitud de una onda sinusoidal de $0$ à $2\pi$ ? Físicamente yo trazaría $$y=\sin(x),\quad 0\le x\le {2\pi}$$ y medir la longitud de la línea.

Creo que parte de la respuesta es integrar esto: $$\int_0^{2\pi} \sqrt{ 1 + (\sin(x))^2} \ \rm{dx}$$

¿Alguna idea?

Answer 1

Una mejor respuesta la da el Dr. Math en http://mathforum.org/library/drmath/view/52038.html . Parafraseando ligeramente al Dr. Math, dice que hay que derivar la integral de:

$$\sqrt{f'(x)^2 + 1}$$

que es algo que se aprende a derivar en Cálculo I. Ya que $f'(sin) = cos$ La raíz cuadrada es el resultado de a a b, o en este caso, de 0 a 2. $\pi$ :

$$\int_0^{2\pi} = \sqrt{cos(x^2)+1}\;dx$$

De ahí que el Dr. Math muestre cómo derivar la ecuación correcta. El autor de la pregunta original publicó una fórmula incorrecta, por lo tanto, la cuestión de cómo derivar esta ecuación tenía que ser abordada, pero no lo fue. Sólo una respuesta en este foro abordó esta cuestión, el resto se limitó a asumir que el autor de la pregunta ya lo sabía, aunque el autor claramente no lo sabía.

El Dr. Math continúa afirmando que "Esta [la ecuación integral dada anteriormente] no tiene antiderivada elemental", ¡lo que contradice la respuesta aceptada! El Dr. Math recomienda que la mejor manera de abordar esto es simplemente calcular la integral directamente, algo que también aprenderás en Cálculo I.

El Dr. Math incluso da una respuesta directa a la pregunta al decirnos que la solución de la integral anterior es: 7,640395578