¿Cuál es la longitud de una onda sinusoidal de $0$ à $2\pi$ ?

Question

¿Cuál es la longitud de una onda sinusoidal de $0$ à $2\pi$ ? Físicamente yo trazaría $$y=\sin(x),\quad 0\le x\le {2\pi}$$ y medir la longitud de la línea.

Creo que parte de la respuesta es integrar esto: $$ \int_0^{2\pi} \sqrt{ 1 + (\sin(x))^2} \ \rm{dx} $$

¿Alguna idea?

Answer 1

No estoy cerca de un ordenador con integrales elípticas a mano, así que daré la evaluación explícita de

$$\int_0^{2 \pi} \sqrt{1+\cos^2 x}\,\mathrm dx$$

Obsérvese que una onda sinusoidal completa puede cortarse en cuatro arcos congruentes; así, podemos considerar en su lugar la integral

$$4\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+\cos^2 x}\,\mathrm dx$$

(alternativamente, uno puede dividir la integral en cuatro "trozos" y encontrar que esos cuatro trozos pueden hacerse idénticos; dejaré esa manipulación a otra persona).

Ahora, después de algunas manipulaciones pitagóricas:

$$4\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+\cos^2 x}\,\mathrm dx=4\int_0^{\pi/2} \sqrt{2-\sin^2 x}\,\mathrm dx$$

y luego un poco de masaje algebraico:

$$4\sqrt{2}\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\frac12\sin^2 x}\,\mathrm dx$$

entonces reconocemos la integral elíptica completa del segundo tipo $E(m)$

$$E(m):=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^2u}\mathrm du$$

(donde $m$ es un parámetro):

$$4\sqrt{2}E\left(\frac12\right)$$

Como señala Robert en un comentario, los distintos entornos informáticos tienen diferentes convenciones argumentales para las integrales elípticas; Maple, por ejemplo, utiliza el módulo $k$ (así, $E(k)$ ) en lugar del parámetro $m$ como entrada (como la utilizada por Mathematica y MATLAB), pero estas convenciones son fáciles de traducir hacia y desde: $m=k^2$ . Así que, utilizando el módulo, la respuesta es entonces $4\sqrt{2}E\left(\frac1{\sqrt 2}\right)$ .

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Ahora para abordar la equivalencia anotada para el parámetro negativo y un parámetro en el intervalo $(0,1)$ por Henry, existe lo que se llama el "transformaciones de módulo imaginario" el enlace DLMF da la transformación para el incompleto pero aquí haré explícitamente el caso completo para que sirva de referencia, ya que no es demasiado complicado de hacer (lo único que hay que recordar son las simetrías de las funciones trigonométricas):

Dejar $E(-1)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+\sin^2 u}\,\mathrm du$ entonces vamos por este camino:

$$\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+\sin^2 u}\,\mathrm du=\int_{-\pi/2}^0\sqrt{1+\sin^2 u}\,\mathrm du$$

$$=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+\sin^2\left(u-\frac{\pi}{2}\right)}\,\mathrm du=\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+\cos^2 u}\,\mathrm du$$

de la que he mostrado lo que se supone que debes hacer antes.

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Desde el punto de vista computacional, la integral elíptica completa del segundo tipo no es demasiado difícil de evaluar, gracias a la media aritmética-geométrica. Normalmente, este método se utiliza para calcular la integral elíptica completa del primero tipo, pero la iteración es fácilmente secuestrada para calcular también la integral del segundo tipo.

Aquí hay un poco de código C(-ish) para la computación $E(m)$ :

#include <math.h>

double ellipec(double m)
{
    double f, pi2, s, v, w;

    if (m == 1.0)
        return 1.0;

    pi2 = 2.0 * atan(1.0);

    v = 0.5 * (1.0 + sqrt(1 - m));
    w = 0.25 * m / v;
    s = v * v;
    f = 1.0;

    do {
        v = 0.5 * (v + sqrt((v - w) * (v + w)));
        w = 0.25 * w * w / v;
        f *= 2.0;
        s -= f * w * w;
    } while (abs(v) + abs(w) != abs(v))

    return pi2 * s / v;
}

(asegúrese de que su compilador no optimiza (agresivamente) el while (abs(v) + abs(w) != abs(v)) o tendrá que utilizar un criterio de terminación de la forma abs(w) < tinynumber .)

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Finalmente,

"Yo también estoy desconcertado: la circunferencia de un círculo es $2\pi r$ y sin embargo la de una elipse es una serie infinita, ¿por qué?"

Creo que en realidad tenemos mucha suerte de que la función de arclitud de un círculo sea notablemente sencilla en comparación con la mayoría de las demás curvas, siendo uno de los factores la simetría del círculo (y, por tanto, también las propiedades de simetría de las funciones trigonométricas que pueden parametrizarlo). La reducción de la simetría al pasar de un círculo a una elipse significa que habrá que compensar esas "perturbaciones", y ahí es donde entran las series...

Answer 2

Le site longitud del arco de la gráfica de una función $f$ entre $x=a$ y $x=b$ viene dada por $ \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx$ . Así que, si está considerando $f(x)=\sin(x)$ entonces la integral correcta es $\int_{0}^{2\pi} \sqrt { 1 + [\cos(x)]^2 }\, dx$ . Por desgracia, esta integral no puede expresarse en términos elementales. Esto es bastante común para las integrales de longitud de arco. Sin embargo, la integral definida pourrait ser expresable en términos elementales; Wolfram Alpha dice que no puede.

Answer 3

Viene dado por $$I = \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ 1 + (\cos{x})^{2}} \ \rm{dx}$$ y creo que esto es una integral elíptica de segundo tipo. (Eso es lo que dice Wolfram).

Answer 4

La longitud de A sin(x) de 0 a 2 $\pi$ es

$$4 \sqrt{A^2+1} \ E(\frac{A^2}{A^2+1})$$

Donde $E(m)$ es la integral elíptica de segundo tipo.

Por lo tanto, si su lámina ondulada tiene 10 cm de espesor y 20 cm entre picos $A = \frac{10/2}{20/2\pi} = \pi/2$ por lo que la longitud es $$\frac{20\text{ cm}}{2\pi} \times 4 \sqrt{\pi^2/4+1} \ E(\frac{\pi^2/4}{\pi^2/4+1}) = 29.3\text{ cm}$$

Answer 5

La integral dada es igual a $$ 4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+\sin^2 x}\,dx = 4\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = 4\int_{0}^{1}\frac{1+x^2}{\sqrt{1-x^4}}\,dx \\= \int_{0}^{1}\left(x^{-3/4}+x^{-1/4}\right)(1-x)^{-1/2}\,dx = B\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\right)+B\left(\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\right)\tag{A}$$ donde $B$ es la función Beta de Euler. En términos de la $\Gamma$ función esta longitud es igual a $$ L=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\Gamma\left(\tfrac{1}{4}\right)^2 +4\pi\sqrt{2\pi}\,\Gamma\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-2}.\tag{B}$$ Por otro lado $\Gamma\left(\tfrac{1}{4}\right)$ el valor de la integral elíptica completa del primer tipo $K(m)$ en $m=\frac{1}{2}$ y el constante de lemniscato están todos relacionados (ver algunos valores especiales para el $\Gamma$ función ). Además, la media AGM proporciona una técnica numérica muy eficiente para la evaluación de una integral elíptica completa del primer tipo. Podemos escribir $(B)$ como $$ L = \frac{2\pi}{\text{AGM}(1,\sqrt{2})}+2\,\text{AGM}\left(1,\sqrt{2}\right) \tag{C}$$ por lo que se trata de un algoritmo eficiente para la evaluación numérica de la longitud deseada:

• Inicializar $a\leftarrow 1$ , $b\leftarrow\sqrt{2}$
• Repita $a\leftarrow\frac{a+b}{2}$ , $b\leftarrow\sqrt{ab}$ hasta $a-b$ es menor que la precisión deseada
• Volver $2\sqrt{ab}+\frac{2\pi}{\sqrt{ab}}$ .

Obtenemos $L\approx 7.640395578055424$ con muy pocos pasos.