un holomorphic función es límite uniforme de polinomios

Question

Yo estaba revisando mi análisis complejo, y encontramos este problema en un conjunto de problemas. Dice "probar que cada holomorphic función en el disco $D=\{|z|<1\}$ es un límite uniforme de polinomios".

Estoy confundido acerca de él, a mí me parece que la afirmación no es verdadera. Debe ser cierto que la convergencia es uniforme en cada conjunto compacto contenido en el disco, aunque. Sin embargo, por ejemplo, creo que no es posible aproximar la función de $\frac{1}{z-1}$ con polinomios que convergen uniformemente. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tienes razón, y su ejemplo muestra que no todos los holomorphic función en la unidad de disco es el límite uniforme de polinomios.

Sin embargo, cada función que es continua en el cerrado de la unidad de disco y holomorphic en la unidad de disco es el límite uniforme de polinomios, y cada una de holomorphic función en la unidad de disco es localmente límite uniforme de polinomios. (Que por supuesto se generaliza arbitraria de discos).

Answer 2

Por supuesto que tienes razón: es imposible aproximar una función no acotada uniformemente con delimitadas las funciones.