¿Bajo qué condiciones los autovalores de una ecuación cuadrática autovalor problema vienen en pares recíprocos?

Question

Supongamos que tenemos una ecuación cuadrática autovalor problema $\lambda^2 M + \lambda C + K$. Bajo qué condiciones es la siguiente afirmación verdadera: Si $\lambda$ es un valor propio, por lo que es $1/\lambda$?

Aquí, $M$, $C$, y $K$ son matrices cuadradas (no necesariamente de rango completo). Esto es de interés para mí, ya que tienen estos sistemas para que yo sepa (basado en la física argumentos) que los autovalores debe venir en la reciprocidad de los pares, pero no sé lo que esto implica necesariamente acerca de las propiedades de la matriz. Desde una mirada superficial a través de Google, parece que palindrómicas QEPs tienen esta propiedad, pero me pregunto si esta propiedad es más general.

Answer 1

Considerar la linealización $$ L(\lambda)=\lambda\begin{pmatrix}M&0\cr 0&1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}C&K\cr -1&0\end{pmatrix}=\lambda+B. $$ Los autovalores del problema original coinciden con los de la linealización.

Ahora, los autovalores del problema linealizado son las raíces del polinomio $\det(\lambda A+B)$, mientras que sus recíprocos son raíces del polinomio $\lambda^{2n}\det(\lambda^{-1}A+B)=\det(\lambda B+A)$. Si se requiere que éstos coinciden con multiplicidades, a continuación, los dos polinomios deben ser linealmente dependientes. (En realidad, se $\pm 1$ veces cada una). Si $A$ es no degenerada, esto implica que $A^{-1}B$ es similar a la de su matriz inversa. La última condición no nos da mucho de inmediato, pero al menos sabemos que $\det A=\pm\det B$; es decir, $\det M=\pm\det K$. También conseguimos que los rastros de $A^{-1}B$ $B^{-1}A$ coinciden, que puede escribirse como una condición en $M$, $C$, y $K$ (con suerte).