En su libro sobre la Optimización Convexa, Boyd y Vandenberghe estado que, dada una norma, $||\cdot||$, definido en $\mathbb{R}^n$, el doble de la norma se define como $$||z||_*= \sup \{ z^Tx : ||x|| \leq 1 \}$$
En otros lugares, he encontrado un equivalente de la caracterización de la doble norma como $$||z||_*= \sup_{x \neq 0} \displaystyle\frac{z^Tx}{||x||}$$ No veo cómo estas dos cosas son equivalentes, aunque se dice que esto es una simple línea.
En particular, lo que es confuso para mí es que me hubieran sostenido la siguiente, aunque esto parece no ser correcta: Por norma homogeneidad, el conjunto estamos tomando el supremum es invariante a dilataciones. Esto es, para cualquier $\alpha >0$, tenemos $$\displaystyle\frac{z^T(\alpha x)}{||\alpha x||} = \displaystyle\frac{\alpha (z^Tx)}{ |\alpha| ||x||} = \displaystyle\frac{z^Tx}{||x||}$$ and therefore we may find the supremum of the set by merely considering the $x$ values with some constant norm, for example, the unit norm: $$||z||_*= \sup_{x \neq 0} \displaystyle\frac{z^Tx}{||x||} = \sup_{x : ||x||=1} \displaystyle\frac{z^Tx}{||x||} = \sup \{ z^T x : ||x|| = 1\}$$.
¿Por qué es esta lógica incorrecta?
