implica la $15a+6b+4c+8d=0$ $ax^3+bx^2+cx+d$ tiene una raíz positiva

Question

Que $a,b,c,d$ ser números verdaderos tales que $15a+6b+4c+8d=0$. Mostrar que $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ tiene una raíz positiva. (Komal, problema N. 170.)

Quiero intentar usar el teorema del valor intermedio, que muestra que el $f(s)<0$ y $f(t)>0$ $s,t>0$, ya que esto implicará que $f(u)=0$ $u>0$. Pero lo números $15,6,4,8$ no ceder fácilmente a conectar los valores apropiados de $x$.

Answer 1

Usted puede usar regla de los signos Descartes que

Una ecuación f (x) = 0 no puede tener más positiva las raíces que hay cambios de signo en f (x) y no pueden tener raíces más negativas que hay cambios de signo en f (- x).

Desde $15a+6b+4c+8d=0$ esto implica que hay al menos un número negativo y un número positivo en el conjunto de ${a,b,c,d}$. Esto implica que el cúbico original tendrá al menos un cambio en la muestra que implica que puede tener una raíz positiva.