Mostrar que $f(x)=1/ x$ es continua en cualquier $c\neq 0$

Question

Alguien me puede ayudar a resolver este problema?

Q: Mostrar que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $f(x)=1/ x$ es continua en cualquier $c\neq 0$.

Aviso: (elija su $\delta$, de modo que se mantenga alejado de 0)

Espero que alguien pueda resolver.

Gracias

Answer 1

Supongamos $c>0$. Si $x > \frac{c}{2}$, $|\frac{1}{x}-\frac{1}{c}|= \frac{|x-c|}{xc} < \frac{2}{c^2}|x-c|$

Por lo tanto, si $\epsilon>0$, elija $\delta < \min(\frac{c^2\epsilon }{2},\frac{c}{2})$, entonces si $|x-c|< \delta$, se tiene (i) $x > \frac{c}{2}$, y desde arriba se tiene (ii) $|\frac{1}{x}-\frac{1}{c}| < \frac{2}{c^2}\delta \le \epsilon $.

Un argumento similar se aplica a $c<0$. O usted podría utilizar el hecho de que $f(x) = -f(-x)$, y utilice el hecho de que la multiplicación por una constante ($-1$, en este caso) es continua, y la composición de funciones continuas es continua.